Теорема 2.5. О производной обратной функции
Глава 4. Тема. 2 Дифференцирование сложной функции. Цепное правило. Определение 2.1 Пусть переменная Пример 2.1. Пусть Непрерывность функции от функции. Напомним определение непрерывной в точке Определение 2.2. Функция Теорема 2.1. Любая функция, дифференцируемая в точке Доказательство. Следовательно Теорема 2.2. О непрерывности сложной функции в области. Обозначим область задания функции на множестве будет непрерывна на множестве Дифференцируемость сложной функции Следующая теорема показывает, что если функции, из которых состоит сложная функция, дифференцируемы, то и сама сложная функция дифференцируема, причем её производная равна произведению производных, формирующих эту сложную функцию. Теорема 2.3. Правило дифференцирования сложной функции. Цепное правило. Пусть точке
Замечание. Производная Правило вычисления производной сложной функции (2.1) будем для простоты называть цепным правилом. Доказательство теоремы. Рассмотрим точку
Докажем формулу (2.1) 1 шаг. Вычисляем отношение приращений
2 шаг. Чтобы вычислить производную, переходим к пределу в выражении (2.3) Теорема доказана. Замечание. В общем случае доказательство теоремы можно найти в любом учебнике по математическому анализу. Пример 2.2. Вычислить производные следующих функций 1) 3) Решение. Решаем 1) Решаем 3) Решаем 4) Замечание. Сложная функция может состоять из любого числа базовых функций (звеньев). Пример 2.3. По заданным сложным функциям найти их базовые составляющие Решение. Решаем 1) Решаем 2) Решаем 3). Производная вычисляется по тому же цепному правилу с той лишь разницей, что количество сомножителей в формуле (3.1) увеличивается. Пример 2.4. Вычислить производную функции Обратная функция и её дифференцирование. Связь между производными прямой и обратной функциями в общем случае Пусть заданы две взаимно обратные функции А. и В. Тогда для функции от функции справедливо тождество
Теорема 2.5. О производной обратной функции Если
Доказательство. Следует из формулы (2.4). Как пример рассмотрим вычисление производных обратных тригонометрических функций Хорошо известно, что функции
Нам нужно получить формулу вычисления производной по аргументу
Вычисляя производную по аргументу Отсюда В последнем равенстве мы воспользовались формулами
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|