 |
Производные функций, заданных неявно и параметрически.
|
|
|
|
Пусть функции х = j(t) и у = y(t) определены и дифференцируемы на некотором множестве Т и пусть j(t) имеет дифференцируемую обратную функцию t = j–1(x). Тогда функция у = y(j–1(x)) есть сложная функция, которая может быть задана параметрически 
, t Î Т. Найдем производную этой функции. Используя правила дифференцирования сложной и обратной функций, имеем
у ¢ х = (y(j–1(x)))¢ = 
,
т.е. производная функции равна
. (2)
Например, для функции 
, используя формулу (2), получим
Если же записать функцию у как функцию от х: 
Þ у = х 6, то получим у ¢ = 6 х 5 = 
– тот же результат.
Найдем вторую производную функции , предполагая, что она существует. Первую производную у ¢ х этой функции можно задать параметрически уравнениями 
. Применяя к этой функции правило (2), находим
.
Аналогично можно найти третью производную
, и т.д.
Рассмотрим неявно заданную функцию у переменной х: F(x, y) = 0
Правило дифференцирования неявной функции таково:
1) Продифференцировать обе части равенства F(x, y) = 0 по х, пользуясь основными правилами и формулами дифференцирования, но помня при этом, что у есть функция от х: у = у (х) с неизвестной производной (т.е. везде, где происходит дифференцирование у, обязательно умножать на у ¢ как при дифференцировании сложной функции).
2) Из полученного равенства выразить у ¢ через х и у.
Пример: Найдем производную функции у, заданной неявно уравнением
х 2 + 3 ху + у 3 = 5.
Действуем по изложенному правилу:
(х 2 + 3 ху + у 3)¢ = (5)¢, 2 х + 3(х ¢ у + ху ¢) + 3 у 2 у ¢ = 0,
2 х + 3 у + 3 ху ¢ + 3 у 2 у ¢ = 0, 3 ху ¢ + 3 у 2 у ¢ = –2 х – 3 у,
.
Заметим, что производная неявной функции обычно также есть функция неявная.
4. Дифференциал функции, его приложения.
|
|
|
Линеаризация функции.
Согласно определению 4.2, функция у = f (x) называется дифференцируемой в точке х 0, если ее приращение D у в этой точке представимо в виде
D у = А.D х + о(D х),
где А – константа, причем из теоремы 4.2 следует, что А = f ¢(x 0). Таким образом, приращение дифференцируемой функции может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, одно из которых – f ¢(x 0).D х – линейно относительно приращения D х (точнее, пропорционально ему), а другое – о(D х) – есть бесконечно малая более высокого порядка, чем D х. При D х ® 0 бесконечно малые D у и f ¢(x 0).D х эквивалентны. Действительно
= 
.
Следовательно, основные свойства суммы f ¢(x 0).D х + о(D х) определяются свойствами первого слагаемого и эквивалентны свойствам самого приращения функции. Поэтому этому слагаемому в математике отводят особое место и называют его дифференциалом.
Определение 4.4.
Часть приращения функции у = f (x), линейная относительно приращения аргумента, называется дифференциалом этой функции и обозначается dy.
Таким образом, dy = f ¢(x 0).D х.
Дифференциал функции у = f (x) обозначают также df (x), df. Дифференциал зависит от точки х 0 и от величины приращения D х. При фиксированном D х имеем dy = f ¢(x).D х – функция переменной х. Рассмотрим функцию у = х, используя равенство df (x) = f ¢(x).D х, получаем dx = D x, т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Учитывая это свойство, принято записывать
dy = f ¢(x). dх. (3)
Эту формулу обычно используют для вычисления дифференциала функции в произвольной точке, в которой эта функция дифференцируема. Например,
d sin(3 x +1) = 3cos(3 x +1) dx.
Кроме того, в силу формулы (1), непосредственно из правил вычисления производной вытекают правила нахождения дифференциалов:
dc = 0, c – const d (u ± v) = du ± dv
d (uv) = vdu + udv 
Докажите эти формулы самостоятельно.
Из правила дифференцирования сложной функции следует замечательное свойство дифференциала – свойство инвариантности (неизменности) дифференциала: пусть у = f (j(x)), обозначим и = j(х); тогда
|
|
|
,
значит, форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другого аргумента.
Из формулы (3) следует также, что 
, т.е. используемое нами выражение 
можно понимать не только как обозначение производной, но и как отношение дифференциалов зависимой и независимой переменных.
Определим геометрический смысл дифференциала. Рассмотрим график функции у = f (x). Возьмем на этом графике точку А(х 0; f (x 0)) и проведем в ней касательную к графику функции (рис. 1).
Имеем dy = f ¢(x 0).D х. Учитывая геометрический смысл производной, получаем 
, откуда dy = tga.D х.
Таким образом, dy = CB, т.е. приращению касательной в точке х 0. Итак, с геометрической точки зрения, дифференциал функции характеризует приращение ординаты касательной к графику функции в заданной точке.
Итак, имеем D у = dy + o(D x), откуда D у» dy, причем, это равенство тем точнее, чем меньше D х. Так как D у = f (x 0 + D x) – f (x 0), а dy = f ¢(x 0)D x, то
f (x 0 + D x) – f (x 0)» f ¢(x 0)D x,
откуда f (x 0 + D x)» f (x 0) + f ¢(x 0)D x.
Положим х = х 0 + D х, тогда получим
f (x)» f (x 0) + f ¢(x 0)D x, (4)
эту формулу можно использовать для приближенного вычисления значения функции в некоторой точке х по известному (или легко вычисляемому) значению функции и ее производной в соседней точке х 0.
Заменим в формуле (4) D х = х – х 0, получим
f (x)» f (x 0) + f ¢(x 0)(х – х 0),
или f (x)» f (x 0) + f ¢(x 0). х – f ¢(x 0). х 0. Обозначим f (x 0) – f ¢(x 0). х 0 = В – const,, а так как f ¢(x 0). х = А. х, то получим f (x)» А. х + В. Значит, формула (4) показывает, что вблизи точки х 0 функция f (x) может быть приближенно заменена линейной функцией. Поэтому формулу
f (x)» f (x 0) + f ¢(x 0)(х – х 0)
называют формулой линеаризации функции в окрестности точки х 0.
Замена функции приближенно равной ей линейной функцией называется линеаризацией функции или линейной аппроксимацией.
Например, линеаризуем функцию f (x) = ln(
) в окрестности точки х 0 = 0. Вычислим:
f (0) = ln e = 1, f ¢(0) = 
= 1.
Тогда вблизи точки 0 выполняется равенство f (x)» 1+ х.
Геометрически линеаризация функции означает, что в окрестности точки графика с абсциссой х 0 линия графика заменяется отрезком прямой, которая, очевидно, является касательной к графику функции в соответствующей точке. Уравнение этой касательной имеет вид
|
|
|
у = f (x 0) + f ¢(x 0)(х – х 0).
Прямая, проходящая через точку (х 0, f (x 0))перпендикулярно касательной, называется нормалью к линии у = f (x) в этой точке. Уравнение нормали имеет вид
у = f (x 0) – 
(х – х 0).
Аналогично тому, как были определены производные высших порядков, можно ввести понятие дифференциалов высших порядков:
d (n) y = d (d (n– 1) y)
Отметим формулы, с помощью которых эти дифференциалы можно вычислять:
дифференциал второго порядка d 2 y = f¢¢ (x) dx 2, где dx 2 = (dx)2;
дифференциал третьего порядка d 3 y = f¢¢¢ (x) dx 3, и т.д.
Заметим, что дифференциалы высших порядков свойством инвариантности не обладают.
|
|
|
