Основные определения и формулы.

План.

1. Матрицы и определители:
1. умножение матриц;
2. вычисление определителей 2-го и 3-го порядка
2. Координаты вектора в некотором базисе.
3. Скалярное произведение:
1. понятие скалярного произведения векторов;
2. свойства скалярного произведения векторов;
3. геометрический и физический смысл скалярного произведения;
4. длина вектора, угол между векторами;
5. ортонормированный базис ;
6. формула скалярного произведения в координатах.
4. Векторное произведение векторов:
1. понятие векторного произведения;
2. свойства векторного произведения;
3. геометрический смысл векторного произведения;
4. формула векторного произведения в координатах.
5. Смешанное произведение:
1. понятие смешанного произведения;
2. свойства смешанного произведения;
3. геометрический смысл смешанного произведения;
4. формула смешанного произведения в координатах.

Задачи.

1.1. Выполнить умножение матриц:

а) ;	б) ;
в) ;	г) .

1.2. Вычислить определители 2-го порядка:

а) ;

б) .

1.3. Вычислить определители 3-го порядка разными способами:

а) ;

б) .

 

1.4. Точки K и L служат серединами сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Полагая и , выразить через векторы и векторы и .

1.5. Из точки O выходят два вектора и . Найти какой-нибудь вектор , идущий по биссектрисе .

1.6. Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого треугольника, взаимно перпендикулярны.

1.7. Зная векторы и , найти:

а) ; б) .

1.8. Вычислить векторное произведение и площадь параллелограмма, построенного на векторах , .

1.9. Показать, что если три вектора , , не коллинеарны, то из равенств вытекает соотношение и обратно.

1.10. Доказать:

а) тождество Лагранжа («БАЦ минус ЦАБ») ;

б) тождество Якоби .

Домашнее задание.

1.11. Выполнить умножение матриц:

а) ;

б) ;

в) .

1.12. Вычислить определители:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.13. В ∆ даны длины его сторон , , . Найти скалярное произведение векторов и .

1.14. Дан равносторонний треугольник , у которого длины сторон равны . Вычислить выражение .

1.15. В ∆ проведены медианы , , . Вычислить выражение .

1.16. Вычислить скалярное произведение векторов и , заданных своими координатами, и определить угол между ними, если , .

1.17. Вычислить векторное произведение и площадь параллелограмма, построенного на векторах , .

1.18. Доказать, что .

1.19. Показать, что если , то векторы , , компланарны.

Дополнительное задание.

1.20. Найти и , если , .

1.21 Решить уравнение: .

1.22. Доказать, что сумма векторов идущих из центра правильного многоугольника к его вершинам, равна .

1.23. Доказать тождество: .

1.24. Две тройки векторов и называются взаимными, если векторы этих троек связаны соотношениями: для всех и при . Используя операции скалярного и векторного умножения, найти векторы тройки, взаимной тройке векторов .

 

Основные определения и формулы.

Наименование	Обозначение, формула
Скалярное произведение
Определение скалярного произведения двух векторов	,
Скалярное произведение в декартовых координатах
Скалярный квадрат
Свойства: 1) коммутативность (переместительное) 2) ассоциативность (сочетательное) относительно скалярного множителя 3) дистрибутивность (распределительное)
Условие ортогональности двух векторов
Приложения: 1) Угол между векторами     2)Проекция вектора на вектор
Векторное произведение
Определение векторного произведения двух векторов	, такой что: 1) , ; 2) , ; 3) - правая тройка векторов
Векторное произведение в декартовых координатах
Свойства: 1) антикоммутативность (антипереместительное) 2) ассоциативность (сочетательное) относительно скалярного множителя 3) дистрибутивность (распределительное)	,
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов
Тождество Лагранжа («БАЦ минус ЦАБ»)	,
Приложение: Площадь параллелограмма, построенного на векторах и
Смешанное произведение
Определение смешанного произведения трех векторов
Смешанное произведение в декартовых координатах
Свойства: 1) изменение знака при перестановке двух сомножителей 2) не меняется при циклической перестановке множителей 3) векторы , , образуют - правую тройку, если - левую тройку, если
Условие компланарности трех векторов	компланарны
Приложение: Объем параллелепипеда, построенного на векторах , ,

Из одной точки проведены три некомпланарных вектора , , . Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна вектору .

 

 

Доказать, что если векторы , , компланарны, то они коллинеарны.

 

 

Доказать тождество: .

 

 

Пусть вектор разложен по двум неколлинеарным векторам и , а именно: . Доказать, что точки A, B, C будут лежать на одной прямой в том и только том случае, когда .

 

 

На сторонах CA и CB (или их продолжениях) треугольника ABC взяты соответственно точки и , которые делят эти стороны в данных отношениях: , . Доказать, что радиус-вектор точки пересечения прямых и имеет вид , где , , - радиус-векторы точек A, B, C.

Семинар 2. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов.

План.

1. Скалярное произведение:
1. понятие скалярного произведения векторов;
2. свойства скалярного произведения векторов;
3. геометрический и физический смысл скалярного произведения;
4. длина вектора, угол между векторами;
5. ортонормированный базис ;
6. формула скалярного произведения в координатах.
2. Векторное произведение векторов:
1. понятие векторного произведения;
2. свойства векторного произведения;
3. геометрический смысл векторного произведения;
4. формула векторного произведения в координатах.
3. Смешанное произведение:
1. понятие смешанного произведения;
2. свойства смешанного произведения;
3. геометрический смысл смешанного произведения;
4. формула смешанного произведения в координатах.

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: