Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Методика и техника эксперимента

Величины называются случайными, если в результате опыта вследствие влияния различных случайных причин они могут принимать неодинаковые, но близкие числовые значения. Вероятность случайного события, состоящего, например, в появлении определенной величины а в серии наблюдений, может быть определена как

, (1)

где n - число наблюдений, при которых появилось событие а;

N - полное число наблюдений;

P (a) - вероятность события а.

Из (1) следует, что вероятность P (a) есть число, значение которого лежит в пределах

. (2)

Событие считается достоверным при P (a) = 1; при P (a) = 0 событие невозможно.

Допустим, что произведено большое число N наблюдений величины а. Получен ряд значений а ₁, а ₂,..., а_i,..., а_N, которые представляют совокупность случайных величин. Результат измерения можно представить графически в виде диаграммы, которая показывает, как часто получаются те или иные значения. Такая диаграмма называется гистограммой.

Для построения гистограммы по оси абсцисс откладывают все значения а_i в порядке возрастания. Далее весь диапазон значений разбивается на одинаковые интервалы D а и подсчитывается число значений величины а, попавших в каждый интервал. Величина интервала определяется из выражения

, (3)

где - наибольшее значение измеренной величины,

- наименьшее значение измеренной величины,

k - число интервалов.

Число интервалов берется произвольным, но таким, чтобы в каждом интервале находилось несколько значений а_i.

Пусть в первом интервале оказалось n ₁ значений измеренной величины, во втором – n ₂ и т.д. Возьмем отношения

которые приближенно равны вероятности того, что величина a принимает значения, соответствующие первому, второму,...,. к-му интервалу. Разделивэти величины на ширину интервала D а, получим

, ,..., ,..., .

Величина

(4)

представляет вероятность, приходящуюся на единичный интервал или плотность вероятности, . Плотность вероятности не одинакова для разных интервалов, т.е. изменяется с изменением значения a.

Площадь каждого прямоугольника гистограммы с учетом (4) равна

и представляет вероятность того, что величина а лежит в пределах от до .

При увеличении числа интервалов k до бесконечности величина D a стремится к нулю, что возможно только при , т.е. при бесконечном числе измерений. В этом случае ступенчатая фигура перейдет в плавную кривую f (а), изображенную на рисунке пунктирной линией. Эта функция называется функцией распределения плотности вероятности величины а.

Практика измерений показывает, что результаты измерений и их погрешности часто имеют вид так называемого нормального распределения или распределения Гаусса. Это связано с тем, что экспериментальные данные, полученные при измерении одной и той же величины при воспроизводимых условиях, подчиняются следующим закономерностям:

1) при большом числе наблюдений погрешности равной величины, но разного знака встречаются одинаково часто, т.е. равновероятны;

2) вероятность появления погрешностей уменьшается с ростом величины погрешности, т.е. большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые.

Аналитическое выражение функции распределения Гаусса имеет вид

, (5)

где а ₀ - абсцисса, соответствующая максимуму функции распределения, истинное значение случайной величины;

s² - дисперсия - параметр распределения, характеризующий ширину кривой.

В теории вероятности показывается, что параметры функции распределения рассчитываются по формулам:

, (6)

Площадь, заштрихованная на графике, численно равна вероятности того, что величина а лежит в интервале от а до .

Общая площадь по кривыми равна 1:

, (7)

что соответствует достоверному событию, т.к. означает, что величина а принимает любое возможное значение. Иначе последнее выражение называется условием нормировки функции распределения.

Поскольку дисперсия характеризует разброс результатов относительно истинного значения, то кривая 2 соответствует большей дисперсии, чем кривая 1.

Результаты любого эксперимента являются случайной величиной, которая описывается какой-либо функцией распределения f (а). Если вид f (а) известен, то по формуле (6) можно найти истинное значение и меру разброса результатов - дисперсию.

В реальных условиях f (а) не известна, а число измерений N конечно. Поэтому находят приближенные параметры функции распределения: вместо истинного значения находят среднее арифметическое результатов измерения

, (8)

а вместо дисперсии - ее оценку

. (9)

также называют среднеквадратичным отклонением наблюдений относительно среднего значения.

При проведении серии измерений получается, что сами средние значения, полученные в результате обработки результатов каждого измерения, являются случайными величинами, разброс которых характеризуется дисперсией для распределения среднего s². В математической статистике показано, что

. (10)

Следовательно среднеквадратичная погрешность среднего значения рассчитывается по формуле:

. (11)

Среднее значение отличается от истинного a ₀, причем, величину этой погрешности определить невозможно, т.к. не известно истинное значение a ₀. В этом случае задается значение погрешности D а такое, чтобы с вероятностью Р абсолютная величина разности между истинным и средним значениями не превышала D а. Вероятность Р называется доверительной вероятностью, а интервал от до - доверительным интервалом.

В качестве результата измерения принимается доверительный интервал, рассчитанный по среднеквадратичному отклонению для распределения среднего s и коэффициенту Стьюдента, учитывающему доверительную вероятность и число измерений:

. (12)

На лабораторных установках (математический маятник, физический маятник и т.п.) измеряется время 3-5 колебаний. По указанию преподавателя производится 50 наблюдений. Задачей лабораторной работы является построение гистограммы, функции распределения, а также определение параметров функции распределения.

Порядок выполнения работы

1. Произвести 50 измерений времени 3-5 колебаний.

2. Определить наибольшее значение измеренной величины и наименьшее значение измеренной величины .

3. Разбив весь диапазон значений на 7-8 интервалов, определить ширину интервала D а по формуле (3).

4. Записать в таблицу числовые значения границ интервалов.

5. Распределить результаты наблюдений по интервалам.

6. Подсчитать число значений n_i из общей совокупности наблюдений а_i, попавших в каждый интервал.

7. По формуле (4) рассчитать плотность вероятности в каждом интервале.

8. Построить гистограмму распределения плотности вероятности.

9. Провести пунктиром сглаженную кривую функции распределения f (а).

10. По формуле (8) вычислить среднеарифметическое значение .

11. По формуле (9) рассчитать среднеквадратичное отклонение наблюдений s _Н.

12. Построить функцию распределения Гаусса . Для этого отклонениям от среднего задать значения: , , , . Следует учесть, что при и соответствует высоте экспериментальной кривой. В этом случае функция распределения приводится к виду: .