Дифференциал 1-го порядка сложной функции.

Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.

Пусть функция определена в точке и в некоторой ее окрестности . Дадим аргументу приращение , тогда функция получит приращение .

Опр. Производной функции в т наз. предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда последнее стремится к 0:

.

Пр. .

Опр. Правой (левой) производной наз. .

Т1. (Критерий существования производной в точке) существует и . При этом

Опр. Функция , имеющая конечную производную в точке , наз. дифференцируемой в этой точке.

Опр. Если , то говорят, что в точке существует бесконечная производная.

Т.2. (О связи дифференцируемости и непрерывности функции в точке) Если ф-я дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Д-во: , где – б.м. при , тогда при непрерывна.

Зам. Дифференцируемость непрерывность,

непрерывность дифференцируемость.

ПР. – непрерывна на R, но не дифференцируема в точке , т.к. .

непрерывна на R, но не дифференцируема в точке .

Геометрический смысл производной

Опр. Секущей называется прямая, соединяющая две точки графика функции .

Опр. Касательной к графику функции в точке называется предельное положение секущей , когда точка вдоль кривой (т.е. угол при ). , , .

Замечание. – угловой коэффициент касательной к графику функции в . Следовательно, – уравнение касательной к графику функции в точке , где .

, , , .

Опр. Углом между кривыми наз. угол между касательными, проведенными к данным кривым в точке их пересечения.

Физический смысл производной.

Пусть точка движется по прямой, закон движения . Дадим приращение , тогда , , .

Правила дифференцирования

Опр. Операцию нахождения производной наз. операцией дифференцирования.

1) ,

Если функции дифференцируемые в т. , то:

2) ,

3) ,

4) ,

5) .

Д-во: 2)

.

3) .

5) .

1), 4) – доказать самостоятельно.

Таблица производных основных элементарных ф-й.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10. 11.

12. 13.

Докажем некоторые формулы из таблицы:

.

.

.

= .

Производная сложной функции

Т.3. (О дифференцировании сложной функции) Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в точке , то сложная функция дифференцируема в точке и или .

Д-во. Дадим аргументу приращение , тогда , . Функция имеет производную в точке , следовательно, или .

Следствие. Пусть и существуют производные в соответствующих точках. Тогда .

ПР. ; .

Дифференцирование обратной функции.

Опр. Функция называется строго возрастающей (убывающей) на промежутке , если .

Опр. Строго возрастающая или строго убывающая функция называется строго монотонной на .

Т.4. (О производной обратной функции) Если функция строго монотонна на интервале и имеет ненулевую производную в некоторой т. , то:

1) обратная ф-я ;

2) в соответствующей точке ;

3) или .

Геометрическая интерпретация:

,

.

Д-во. ; ; т.к - дифференцируема. непрерывна .

ПР. , , ; .

ПР. , , .

Дифференцирование функции, заданной параметрически

Т.5. (О производной параметрически заданной функции) Пусть 1) функция задана в виде ;
2) функции имеют производные в точке ;
3) для функции существует обратная функция и дифференцируема в точке . Тогда для функции существует производная в точке , т.е. .

Д-во. .

ПР. Найти угол наклона касательной к оси Ох в точке, соответствующей значению .

Решение. , т.е. при тангенс угла наклона касательной к графику данной функции .

Дифференцирование функции, заданной неявно

Правило дифференцирования неявной функции.

Чтобы найти производную неявно заданной функции, надо продифференцировать правую и левую части уравнения (1) как сложную функцию аргумента , помня, что , и из полученного равенства найти .

ПР. .

Следствие. Логарифмическое дифференцирование:

.

ПР. … .

Дифференциал функции

Т.6. (Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции в точке) Функция дифференцируема в точке (т.е. имеет конечную производную) тогда и только тогда, когда ее приращение в этой точке можно представить в виде , где – б.м. более высокого порядка малости, чем .

Д-во: , тогда .

.

Пусть дифференцируема в точке x, т. е. .

Опр. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции: .

Замечание 1. Вообще говоря, . Но для . В частности, для , т.е. .

Замечание 2. .

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции в точке , соответствующий приращению , есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Свойства дифференциала:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Замечание. В приближенных вычислениях используется, что .

ПР. , .

Дифференциал 1-го порядка сложной функции.

Инвариантность формы первого дифференциала

Пусть , , т.о. форма дифференциала не зависит от того, является ли аргумент функции независимой переменной или функцией другого аргумента (свойство инвариантности формы I-го дифференциала)

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: