 |
Электрическая ёмкость. Конденсаторы. Соединение конденсаторов
|
|
|
|
Сообщённый проводнику заряд q распределяется по его поверхности так, что напряжённость поля внутри проводника равна нулю. Если проводнику сообщить такой же заряд q, то он распределится по поверхности проводника. Отсюда вытекает, что потенциал проводника пропорционален находящемуся на нём заряду:
q = Cφ (12.49)
Коэффициент пропорциональности С называют электроёмкостью:
(12.50)
Электроёмкость проводника или системы проводников – физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрические заряды.
v Единица электроёмкости – фарад (Ф).
Для примера рассчитаем электроёмкость уединённого проводника, имеющего форму сферы. Используя соотношение между потенциалом и напряжённостью электростатического поля, запишем
(12.51)
R – радиус сферы.
При вычислении полагаем, что φ∞=0. Получаем, что электроёмкость уединённой сферы равна
(12.52)
Из соотношения видно, что электроёмкость зависит как от геометрии проводника, так и от относительной диэлектрической проницаемости среды.
Конденсаторы – это система из двух проводников, обкладок, разделённых диэлектриком, толщина которого мала по сравнению с размерами обкладок. Тогда электрическое поле, создаваемое зарядами на конденсаторе, будет практически целиком сосредоточено между его обкладками (рис.12.33). Электроёмкость определяется геометрией конденсатора и диэлектрическими свойствами среды, заполняющей пространство между обкладками.
По форме исполнения различают плоские, цилиндрические, сферические и слоистые конденсаторы.
ü Плоские конденсаторы (рис.12.34). Электроёмкость плоского конденсатора
(12.53)
(S – площадь обкладка конденсатора, d - расстояние между обкладками, ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющая пространство между обкладками).
|
|
|
ü 
Цилиндрические конденсаторы (рис.12.35). Электроёмкость цилиндрического конденсатора
(12.54)
(R1 и R2 – радиусы аксиальных цилиндров, ℓ- длина образующей цилиндров).
ü Сферические конденсаторы (рис.12.36). Электроёмкость сферического конденсатора
(12.55)
(R2 и R1 – радиусы сферы; ε - относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между сферами).
ü Слоистые конденсаторы. Электроёмкость слоистого конденсатора, т.е. конденсатора, имеющего слоистый диэлектрик,
(12.56)
Для получения необходимой электроёмкости конденсаторы соединяют в батарею. Различают два соединения конденсаторов: параллельное и последовательное.
ü При параллельном соединении конденсаторов общий заряд батареи равен
q = q1+q2+q3, но так как q1 = UABC1; q2 = UABC2; qn = UABCn, то q = UAB (C1+ C2+…+ Cn), откуда 
т.е.
С= C1+ C2+ C3
При параллельном соединении конденсаторов электроёмкость батареи равна сумме электроёмкостей, включённых в неё:
(12.57)
ü 
При последовательном соединении заряд батареи равен
q = q1 = q2 = q3
напряжению между точками А и В
откуда
При последовательном соединении конденсаторов электроёмкость батареи
(12.58)
§ 12.13 Энергия электростатического поля. Объёмная плотность энергии электростатического поля
ü Энергия неподвижных точечных зарядов
Пусть два заряда q1 и q2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из зарядов, находясь в поле другого заряда, обладает потенциальной энергией П. Используя П=qφ, определим
П1=W1=q1φ12 П2=W2=q2φ21
(φ12 и φ21 – соответственно потенциалы поля заряда q2 в точке нахождения заряда q1 и заряда q1 в точке нахождения заряда q2).
Согласно определению потенциала точечного заряда
Следовательно.
или 
Таким образом,
Энергия электростатического поля системы точечных зарядов равна
|
|
|
(12.59)
(φі- потенциал поля, создаваемого n -1 зарядами (за исключением qi) в точке, в которой находится заряд qi).
ü Энергия уединённого заряженного проводника
Уединённый незаряженный проводник можно зарядить до потенциала φ, многократно перенося порции заряда dq из бесконечности на проводник. Элементарная работа, которая совершается против сил поля, в этом случае равна
δA= φdq
Перенос заряда dq из бесконечности на проводник изменяет его потенциал на
dφ, тогда
dq = C dφ
(С – электроёмкость проводника).
Следовательно,
δA= Cφdφ
т.е. при переносе заряда dq из бесконечности на проводник увеличиваем потенциальную энергию поля на
dП = dW =δA= Cφdφ
Проинтегрировав данное выражение, находим потенциальную энергию электростатического поля заряженного проводника при увеличении его потенциала от 0 до φ:
(12.60)
Применяя соотношение 
, получаем следующие выражения для потенциальной энергии:
(12.61)
(q - заряд проводника).
ü Энергия заряженного конденсатора
Если имеется система двух заряженных проводников (конденсатор), то полная энергия системы равна сумме собственных потенциальных энергий проводников и энергии их взаимодействия:
(12.62)
(q - заряд конденсатора, С – его электроёмкость.
С учётом того, что Δφ=φ1 –φ2 = U - разность потенциалов (напряжение) между обкладками), получим формулу
(12.63)
Формулы справедливы при любой форме обкладок конденсатора.
Физическая величину, численно равную отношению потенциальной энергии поля, заключённой в элементе объёма, к этому объёму, называют объёмной плотностью энергии.
Для однородного поля объёмная плотность энергии
(12.64)
Для плоского конденсатора, объём которого V=Sd, где S - площадь пластины, d - расстояние между пластинами,
Но 
, 
тогда
(12.65)
Или
(12.66)
(Е – напряжённость электростатического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ε, D = ε ε 0E - электрическое смещение поля).
Следовательно, объёмная плотность энергии однородного электростатического поля определяется напряжённостью Е или смещением D.
Следует отметить, что выражение и справедливы только для изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение p= ε 0χE.
|
|
|
Выражение соответствует теории поля – теории близкодействия, согласно которой носителем энергии является поле.
Пондеромоторные силы
Обкладки конденсатора, заряженные разноимённо, притягиваются друг к другу.
Механические силы, действующие на макроскопические заряженные тела, называют пондеромоторными.
Рассчитаем пондеромоторные силы, действующие на обкладки плоского конденсатора. При этом возможны два варианта:
1) Конденсатор заряжен и отключён от заряженной батареи (в этом случае количество зарядов на пластинах остаётся постоянным q = const).
При удалении одной обкладки конденсатора от другой совершается работа
dA=Fdx
за счёт которой увеличивается потенциальная энергия системы:
При этом dA = dW. Приравнивая правые части этих выражений, получаем
(12.67)
В данном случае при дифференцировании расстояние между пластинами обозначилось х.
2. Конденсатор заряжен, но не отключён от батареи (в этом случае при перемещении одной из пластин конденсатора будет сохраняться постоянным напряжение (U = const). В этом случае при удалении одной пластины от другой потенциальная энергия поля конденсатора уменьшается, так как происходит «утечка» зарядов с пластин, поэтому
Откуда
Но 
, тогда
Полученное выражение совпадает с формулой . Оно может быть представлено и в другом виде, если вместо заряда q ввести поверхностную плотность:
(12.68)
Поле однородно. Напряжённость поля конденсатора равна 
, где х – расстояние между пластинами. Подставив в формулу U2=E2x2, получим, что сила притяжения пластин плоского конденсатора
(12.69)
Эти силы действуют не только на пластины. Так как пластины, в свою очередь, давят на диэлектрик, помещённый между ними, и деформируют его, то в диэлектрике возникает давление
(S - площадь каждой пластины).
Давление, возникающее в диэлектрике, равно
(12.70)
Примеры решения задач
Пример 12. 5. К пластинам плоского воздушного конденсатора приложена разность потенциалов 1,5 кВ. Площадь пластин 150см2 и расстояние между ними 5 мм. После отключения конденсатора от источника напряжения в пространство между пластинами вставили стекло (ε2=7).Определите:
|
|
|
1) разность потенциалов между пластинами после внесения диэлектрика; 2) ёмкость конденсатора до и после внесения диэлектрика; 3) поверхностную плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика.
Дано: U1=1,5кВ=1,5∙103В; S=150см2=1,5∙10-2 м2; ε1=1; d=5мм=5∙10-3 м.
Найти: 1) U2; 2) С1 С2; 3) σ1, σ2
Решение. Так как 
(σ- поверхностная плотность зарядов на обкладках конденсатора), то до внесения диэлектрика σd=U1ε0ε1 и после внесения диэлектрика σd=U2ε0ε2, поэтому
Ёмкость конденсатора до и после внесения диэлектрика
и 
Заряд пластин после отключения от источника напряжения не меняется, т.е. q=const. Поэтому Поверхностная плотность заряда на пластинах до и после внесения диэлектрика
Ответ: 1) U2=214В; 2) С1=26,5пФ; С2=186пФ; 3) σ1= σ2=2.65 мкКл/м2.
Пример 12.7. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен анизотропным диэлектриком, проницаемость ε которого изменяется в перпендикулярном к обкладкам направлении по линейному закону ε = α + βх от ε1 до ε2, причём ε2 > ε1. Площадь каждой обкладки S, расстояние между ними d. Найти ёмкость конденсатора.
Дано: S; d; ε1; ε2
Найти: С.
Решение. Диэлектрическая проницаемость ε изменяется по линейному закону, ε = α + βх, где х отсчитывается от обкладки, у которой проницаемость равна ε1. Учитывая, что ε (0) = ε1, ε (d) = ε2, получаем зависимость 
. Найдём разность потенциалов между обкладками:
Ёмкость конденсатора будет равна
Ответ: 
Пример 12.7. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов U, параллельно его обкладкам помещены два слоя диэлектриков. Толщина слоёв и диэлектрическая проницаемость диэлектриков соответственно равны d1, d2, ε1, ε2. Определите напряжённость электростатических полей в слоях диэлектриков.
Дано: U; d1, d2, ε1, ε2
Найти: E1, E2.
Решение. Напряжение на пластинах конденсатора, учитывая, что поле в пределах каждого из диэлектрических слоёв однородно,
U=E1d1+ E2 d2. (1)
Электрическое смещение в обоих слоях диэлектрика одинаково, поэтому можем записать
D=D1= D2 = ε0 ε1 E1= ε0 ε2 E2 (2)
Из выражения (1) и (2) найдём искомое
(3)
Из формулы (2) следует, что
Ответ: ;
Пример 12.7. Площадь пластин S плоского конденсатора равна 100см2. Пространство между пластинами заполнено вплотную двумя слоями диэлектриков – слюдяной пластинкой (ε1=7) толщиной d1=3,5 мм и парафина (ε2=2) толщиной d2=5 мм. Определите ёмкость этого конденсатора..
Дано: S=100см2=10-2м2; ε1=7; d1=3,5мм=3.5∙10-3м;, ε1=2; d1=3,5мм=5∙10-3м;
|
|
|
Найти: С.
Решение. Ёмкость конденсатора
где = - заряд на пластинах конденсатора (- поверхностная плотность заряда на пластинах); =- разность потенциалов пластин, равная сумме напряжений на слоях диэлектрика: U=U1+U2. Тогда
(1)
Напряжения U1 и U2 найдём по формулам
; 
(2)
где Е1 и Е2 – напряжённость электростатического поля в первом и втором слоях диэлектрика; D - электрическое смещение в диэлектриках (в обоих случаях одинаково). Приняв во внимание, что
D = σ,
И учитывая формулу (2), из выражения (1) найдём искомую ёмкость конденсатора
Ответ: С=29,5пФ.
Пример 12.7. Батарея из трёх последовательно соединённых конденсаторов С1=1мкФ; С2=2мкФ и С3=4мкФ подсоединены к источнику ЭДС. Заряд батареи конденсаторов q =40мкКл. Определите: 1) напряжения U1, U2 и U3 на каждом конденсаторе; 2) ЭДС источника; 3) ёмкость батареи конденсаторов.
Дано: С1=1мкФ=1∙10-6Ф; С2=2мкФ=2∙10-6Ф и С3=4мкФ=4∙10-6Ф; q=40мкКл=40∙10-6Ф.
Найти: 1) U1, U2, U3; 2) ξ; 3) С.
Решение. При последовательном соединении конденсаторов заряды всех обкладок равны по модулю, поэтому
q1=q2=q3=q.
Напряжение на конденсаторах
ЭДС источника равна сумме напряжений каждого из последовательно соединённых конденсаторов:
ξ = U1+ U2 +U3
При последовательном соединении суммируются величины, обратные ёмкостям каждого из конденсаторов:
Откуда искомая ёмкость батареи конденсаторов
Ответ: 1) U1= 40В; U2= 20В, U3= 10В; 2) Ɛ= 70В; 3) С= 0,571мкФ.
Пример 12.7. Два плоских воздушных конденсатора одинаковой ёмкости соединены последовательно и подключены к источнику ЭДС. Как и во сколько раз изменится заряд конденсаторов, если один из них погрузить в масло с диэлектрической проницаемостью ε=2,2.
Дано: С1=С2= С; q=40мкКл=40∙10-6Ф; ε1=1; ε2=2,2.
Найти: 
.
Решение. При последовательном соединении конденсаторов заряды обоих конденсаторов равны по модулю. До погружения в диэлектрик (в масло) заряд каждого конденсатора
где ξ = U1+ U2 (при последовательном соединении конденсаторов ЭДС источника равна сумме напряжений каждого из конденсаторов).
После погружения одного из конденсаторов в диэлектрик заряды конденсаторов опять одинаковы и соответственно на первом и втором конденсаторах равны
q= CU1=ε2CU2
(учли, что ε1=1), откуда, если учесть, что ξ = U1+ U2, найдём
(2)
Поделив (2) на (1), найдём искомое отношение
Ответ: 
, т.е. заряд конденсаторов возрастает в 1,37 раз.
Пример 12.7. Конденсаторы ёмкостями С каждый соединены так, как указано на рис.а. определите ёмкость Собщ этого соединения конденсаторов..
Решение. Если отключить от цепи конденсатор С4, то получится соединение конденсаторов, которое легко рассчитывается. Поскольку ёмкости всех конденсаторов одинаковы (С2=С3 и С5=С6), обе параллельные ветви симметричны, поэтому потенциалы точек А и В, одинаково расположенные в ветвях, должны быть равны. Конденсатор С4 подключен, таким образом, к точкам с нулевой разностью потенциалов. Следовательно, конденсатор С4 не заряжен, т.е. его можно исключить и схему, представленную в условии задачи, упростить (рис.б).
Эта схема- из трёх параллельных ветвей, две из которых содержат по два последовательно включённых конденсаторов
Ответ: Собщ=2С.
Пример 12.7. Плоский воздушный конденсатор ёмкостью С1=4пФ заряжен до разности потенциалов U1=100В. После отключения конденсатора от источника напряжения расстояние между обкладками конденсатора увеличили в два раза. Определите: 1) разность потенциалов U2 на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) работу внешних сил по раздвижению пластин.
Дано: С1=4пФ=4∙10-12Ф; U1=100В; d2 =2d1.
Найти: 1)U2; 2) A.
Решение. Заряд обкладок конденсатора после отключения от источника напряжения не меняется, т.е. Q=const. Поэтому
С1U1= С2U2, (1)
где С2 и U2 - соответственно ёмкость и разность потенциалов на обкладках конденсатора после их раздвижения.
Учитывая, что ёмкость плоского конденсатора 
, из формулы (1) получим искомую разность потенциалов
(2)
После отключения конденсатора от источника напряжения систему двух заряженных обкладок можно рассматривать как замкнутую, для которой выполняется закон сохранения энергии: работа А внешних сил равна изменению энергии системы
А= W2 - W1 (3)
где W1 и W2 – соответственно энергия поля конденсатора в начальном и конечном состояниях.
Учитывая, что 
и 
(q – const), из формулы (3) получим искомую работу внешних сил
А=W2- 
[учли, что q=C1U1 и формулу (2)].
Ответ: 1) U2=200В; 2) A=40нДж.
Пример 12.7. Сплошной шар из диэлектрика радиусом R=5см заряжен равномерно с объёмной плотностью ρ=5нКл/м3. Определите энергию электростатического поля, заключённую в окружающем шар пространстве.
Дано: R=5см=5∙10-2м; ρ=5нКл/м3= 5∙10-9 Кл/м3.
Найти: W.
Решение. Поле заряженного шара сферически симметрично, поэтому объёмная плотность заряда одинакова во всех точках, расположенных на равных расстояниях от центра шара.
Энергия в элементарном сферическом слое (он выбран за пределами диэлектрика, где следует определить энергию) объёмом dV (см. рисунок)
dW=ωdV, (1)
где dV=4πr2dr (r – радиус элементарного сферического слоя; dr - его толщина); 
(ε=1 – поле в вакууме; Е – напряженность электростатического поля).
Напряжённость Е найдём по теореме Гаусса для поля в вакууме, причём в качестве замкнутой поверхности мысленно выберем сферу радиусом r (см. рисунок). В данном случае внутрь поверхности попадает весь заряд шара, создающий рассматриваемое поле, и, по теореме Гаусса,
Откуда 
Подставив найденные выражения в формулу (1), получим
Энергия, заключённая в окружающем шар пространстве,
Ответ: W=6,16∙10-13Дж.
Пример 12.7. Плоскому конденсатору с площадью обкладок S и расстоянием между ними ℓ сообщён заряд q, после чего конденсатор отключён от источника напряжения. Определите силу притяжения F между обкладками конденсатора, если диэлектрическая проницаемость среды между обкладками равна ε.
Дано: S; ℓ; q; ε.
Найти: F.
Решение. Заряд обкладок конденсатора после отключения от источника напряжения не меняется, т.е. q=const. Предположим, что под действием силы притяжения F расстояние между обкладками конденсатора изменилось на d ℓ. Тогда сила F совершает работу
dA=Fdℓ (1)
Согласно закону сохранения энергии, эта работа равна убыли энергии конденсатора, т.е.
dA=-dW, (2)
откуда, исходя из выражений (1) и (2), получим
. (3)
Подставив в формулу для энергии заряженного конденсатора 
выражение для ёмкости плоского конденсатора 
, получим
(4)
Подставив в формулу (3) значение энергии (4) и выполнив дифференцирование, найдём искомую силу притяжения между обкладками конденсатора
где знак «-» указывает на то, что сила F является силой притяжения.
Ответ:
Пример 12.7. Плоский конденсатор площадью обкладок S и расстоянием между ними ℓ подключен к источнику постоянного напряжения U. Определите силу притяжения F между обкладками конденсатора, если диэлектрическая проницаемость среды между обкладками равна ε.
Дано: S; ℓ; U; ε.
Найти: F.
Решение. Согласно условию задачи, на обкладках конденсатора поддерживается постоянное напряжение, т.е. U=const. Предположим, что под действием силы притяжения F расстояние между обкладками конденсатора изменилось на dℓ. Тогда сила F совершает работу
dA=Fdℓ (1)
Согласно закону сохранения энергии, эта работа в данном случае идёт на увеличение энергии конденсатора (сравните с предыдущей задачей), т.е.
dA=dW (2)
откуда, исходя из выражений (1) и (2), получим
(3)
Подставив в формулу для энергии конденсатора 
выражение для ёмкости плоского конденсатора 
, получим
(4)
Подставив в формулу (3) значение энергии (4) и выполнив дифференцирование, найдём искомую силу притяжения между обкладками конденсатора
.
где знак «-» указывает на то, что сила F является силой притяжения.
Ответ: 
|
|
|
