Интерференция волн. Стоячие волны. Уравнение стоячей волны
Глава 7. Механические волны Волны. Уравнение волны Помимо уже рассмотренных нами движений, почти во всех областях физики встречается ещё один тип движения – волны. Отличительной особенностью этого движения, делающей его уникальным, является то, что в волне распространяются не сами частицы вещества, а изменения в их состоянии (возмущения). Возмущения, распространяющиеся в пространстве с течением времени, называются волнами. Волны бывают механические и электромагнитные. Упругие волны – это распространяющиеся возмущения упругой среды. Возмущение упругой среды – это любое отклонение частиц этой среды от положения равновесия. Возмущения возникают в результате деформации среды в каком-либо её месте. Совокупность всех точек, куда дошла волна в данный момент времени, образует поверхность, называемую фронтом волны. По форме фронта волны делятся на сферические и плоские. Направление распространения фронта волны определяется перпендикуляром к фронту волны, называемым лучом. Для сферической волны лучи представляют собой радиально расходящийся пучок. Для плоской волны лучи- пучок параллельных прямых. В любой механической волне одновременно существуют два вида движения: колебания частиц среды и распространения возмущения. Волна, в которой колебания частиц среды и распространение возмущения происходят в одном направлении, называется продольной (рис.7.2 а). Волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения возмущений, называется поперечной (рис. 7.2 б). В продольной волне возмущения представляют собой сжатие (или разрежение) среды, а в поперечной - смещения (сдвига) одних слоев среды относительно других. Продольные волны могут распространяться во всех средах (и в жидких, и в твёрдых, и в газообразных), а поперечные - только в твёрдых.
Каждая волна распространяется с некоторой скоростью. Под скоростью волны υ понимают скорость распространения возмущения. Скорость волны определяется свойствами среды, в которой эта волна распространяется. В твёрдых телах скорость продольных волн больше скорости поперечных. Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания в её источнике. Поскольку скорость волны – величина постоянная (для данной среды), то пройденной волной расстояние равно произведению скорости на время её распространения. Таким образом, длина волны λ= υТ (7. 1) Из уравнения (7.1) следует, что частицы, отделённые друг от друга интервалом λ, колеблются в одинаковой фазе. Тогда можно дать следующее определение длины волны: длина волны есть расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе. Выведем уравнение плоской волны, позволяющее определить смещение любой точки волны в любой момент времени. Пусть волна распространяется вдоль луча от источника с некоторой скоростью υ. Источник возбуждает простые гармонические колебания, и смещение любой точки волны в любой момент времени определяетcz уравнением S = Asinωt (7. 2) Тогда точка среды, отстоящая от источника волны на расстоянии х, также будет совершать гармонические колебания, но с запаздыванием по времени на величину , т.е. на время, необходимое для распространения колебаний от источника до этой точки. Смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия в любой момент времени будет описываться соотношением (7. 3) Это и есть уравнение плоской волны. Эта волна, характеризуется следующими параметрами: · S — смещение от положения равновесии точки упругой среды, до которой дошло колебание;
· ω — циклическая частота колебаний, генерируемых источником, с которой колеблются и точки среды; · υ — скорость распространения волны (фазовая скорость); · х – расстояние до той точки среды, куда дошло колебание и смещение которой равно S; · t – время отсчитываемое от начала колебаний; Вводя в выражение (7. 3) длину волны λ, уравнение плоской волны можно записать так: (7. 4) или
(7. 5) где называется волновым числом (число волн, приходящихся на единицу длины).
Волновое уравнение Уравнение плоской волны (7. 5) - одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называется волновым. В уравнения (7.5) входят переменные t и х, т.е. смещение периодически меняется и во времени и в пространстве S = f(x, t). Волновое уравнение можно получить, если продифференцировать (7. 5) дважды по t: И дважды по х Подставляя первое уравнение во второе, получаем уравнение плоской бегущей волны вдоль оси X: (7. 6) Уравнение (7.6) называют волновым, и для общего случая, когда смещение является функцией четырех переменных, оно имеет вид (7.7) , где —оператор Лапласа
§ 7.3 Энергия волны. Вектора Умова. При распространении в среде плоской волны (7.8) происходит перенос энергии. Мысленно выделим элементарный объем ∆V, настолько малый, что скорость движения и деформацию во всех его точках можно считать одинаковыми и равными соответственно и (7.9) Выделенный объём обладает кинетической энергией (7.10) m=ρ∆V — масса вещества в объеме ∆V, ρ — плотность среды]. (7.11) Подставляя в (7.10) значение , получаем (7.12) Максимумы кинетической энергии приходятся на те точки среды, которые проходят положения равновесия в данный момент времени (S = 0), в эти моменты времени колебательное движение точек среды характеризуется наибольшей скоростью. Рассматриваемый объем ∆V обладает также потенциальной энергией упругой деформации [Е — модуль Юнга; — относительное удлинение или сжатие]. Учитывая формулу (7.8) и выражение для производной, находим, что потенциальная энергия равна
(7.13) Анализ выражений (7.12) и (7.13) показывает, что максимумы потенциальной и кинетической энергий совпадают. Следует отметить, что это является характерной особенностью бегущих волн. Чтобы определить полную энергию объема ∆V, нужно взять сумму потенциальной и кинетической энергий: (7.14) Разделив эту энергию на объем, в котором она содержится, получим плотность энергии: (7.15) Из выражения (7.15) следует, что плотность энергии является функцией координаты х, т. е. в различных точках пространства она имеет различные значения. Максимального значения плотность энергии достигает в тех точках пространства, где смещение равно нулю (S = 0). Средняя плотность энергии в каждой точке среды равна (7.16) так как среднее значение Таким образом, среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии, которая доставляется от источника колебаний в различные области среды. Перенос энергии в волнах количественно характеризуется вектором плотности потока энергии. Этот вектор для упругих волн называют вектором Умова (по имени русского ученого Н. А. Умова). Направление вектора Умова совпадает с направлением переноса энергии, а его модуль равен энергии, переносимой волной за единицу времени сквозь единичную площадку, расположенную перпендикулярно направлению распространения волны. Интерференция волн. Стоячие волны. Уравнение стоячей волны Стоячие волны образуются в результате интерференции двух встречных плоских волн одинаковой частоты ω и амплитуды А. Представим себе, что в точке S (рис.7.4) находится вибратор, от которого вдоль луча SO распространяется плоская волна. Достигнув преграды в точке О, волна отразится и пойдёт в обратном направлении, т.е. вдоль луча распространяются две бегущие плоские волны: прямая и обратная. Эти две волны когерентны, так как рождены одним и тем же источником и, накладываясь друг на друга, будут интерферировать между собой. Возникающее в результате интерференции колебательное состояние среды и называется стоячей волной.
Запишем уравнение прямой и обратной бегущей волны: прямая - ; обратная - где S1 и S2 – смещение произвольной точки на луче SO. С учётом формулы для синуса суммы результирующее смещение равно Таким образом, уравнение стоячей волны имеет вид (7.17) Множитель cosωt показывает, что все точки среды на луче SО совершают простые гармонические колебания с частотой . Выражение называется амплитудой стоячей волны. Как видно, амплитуда определяется положением точки на луче SO (х). Максимальное значение амплитуды будут иметь точки, для которых или (n = 0, 1, 2,….) откуда , или (7.18) Точки, имеющие такие координаты, называют пучностями стоячей волны. Минимальное значение, равное нулю, будут иметь те точки для которых или (n = 0, 1, 2,….) откуда или (7.19) Точки, имеющие такие координаты, называют узлами стоячей волны. Сопоставляя выражения (7.18) и (7.19), видим, что расстояние между соседними пучностями и соседними узлами равно λ/2. На рисунке сплошной линией изображено смещение колеблющихся точек среды в некоторый момент времени, пунктирной кривой – положение этих же точек через Т/2. Каждая точка совершает колебания с амплитудой, определяемой её расстоянием от вибратора (х). В отличие от бегущей волны в стоячей волне не происходит переноса энергии. Энергия просто переходит из потенциальной (при максимальном смещении точек среды от положения равновесия) в кинетическую (при прохождении точками положения равновесия)в пределах между узлами, остающимися неподвижными. Все точки стоячей волны в пределах между узлами колеблются в одинаковой фазе, а по разные стороны от узла – в противофазе. Стоячие волны возникают, например, в закреплённой с обоих концов натянутой струне при возбуждении в ней поперечных колебаний. Причём в местах закреплений располагаются узлы стоячей волны. Если стоячая волна устанавливается в воздушном столбе, открытом с одного конца (звуковая волна), то на открытом конце образуется пучность, а на противоположном – узел.
Примеры решения задач Пример. Определите скорость распространения звука в воде, если длина волны равна 2м, а частота колебаний источника ν=725Гц. Определите также наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазе. Дано: λ=2м; ν=725Гц. Найти: υ; х. Решение. Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется определённая фаза волны за период Т, т.е. , где υ – скорость волны; ν - частота колебаний. Тогда искомая скорость υ=λν. Длина волны – расстояние между ближайшими частицами среды, колеблющимися в одинаковой фазе. Следовательно, искомое наименьшее расстояние между точками среды, колеблющимися в одинаковой фазы, равно длине волны, т.е.
х=λ Ответ: υ=1450 м/с; х=2м.
Пример. Определите, во сколько раз изменится длина ультразвуковой волны при переходе её из меди в сталь, если скорость распространения ультразвука в меди и стали соответственно равны υ1=3,6км/с и υ2=5,5 км/с. Дано: υ1=3,6км/с=3,6∙103м/с. и υ2=5,5 км/с =5,5∙103м/с. Найти: . Решение. При распространении волн частота колебаний не изменяется при переходе их одной среды в другую (она зависит только от свойств источника волн), т.е. ν1= ν2= ν. Связь длины волны с частотой ν: , (1) где υ – скорость волны. Искомое отношение, согласно (1), . Вычисляя, получаем (увеличится в 1.53 раза). Ответ:
Пример. Один конец упругого стержня соединён с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону , а другой конец жёстко закреплён. Учитывая, то отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, определите: 1) уравнение стоячей волны; 2) координаты узлов; 3) координаты пучностей. Дано: . Найти: 1) ξ (x, t); 2) ху; 3) хn. Решение. Уравнение падающей волны , (1) где А – амплитуда волны; ω - циклическая частота; υ - скорость волны. Согласно условию задачи, отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, поэтому волна меняет фазу на противоположную, и уравнение отражённой волны . (2) Сложив уравнения (1) и (2), получим уравнение стоячей волны откуда (учли ; λ=υТ). В точках среды, где (m=0, 1, 2,….) (3) Амплитуда колебаний обращается в нуль (наблюдаются узлы), в точках среды, где (m=0, 1, 2,….) (4) Амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А (наблюдаются пучности). Искомые координаты узлов и пучностей находим из выражений (3) и (4): координаты узлов (m=0, 1, 2,….); координаты пучностей (m=0, 1, 2,….). Ответ: 1) ; (m=0, 1, 2,….); (m=0, 1, 2,….).
Пример. Расстояние между соседними узлами стоячей волны, создаваемый камертоном в воздухе ℓ =42см. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона. Дано: ℓ =42см=0,42м; υ=332 м/с. Найти: ν. Решение. В стоячеё волне расстояние между двумя соседними узлами равно . Следовательно, ℓ= , откуда длина бегущей волны λ=2ℓ (1) Связь между длиной волны и частотой . Подставив в эту формулу значение (1), получим искомую частоту колебаний камертона . Ответ: ν=395 Гц.
Пример. Труба длиной ℓ = 50см заполнена воздухом и открыта с одного конца. Принимая скорость υ звука равной 340 м/с, определите, при какой наименьшей частоте в трубе будет возникать стоячая звуковая волна. Принимая скорость звука в воздухе υ=332 м/с, определите частоту колебаний ν камертона. Дано: ℓ =50см=0,5м; υ=340 м/с. Найти: ν0. Решение. Частота будет минимальной при условии, что длина стоячей волны максимальна. В открытой с одного конца трубе на открытой части будет пучность (отражение от менее плотной среды), а на закрытой части – узел (отражение от более плотной среды). Поэтому в трубе уложится четверть длины волны: Учитывая, что длина волны , можем записать , Откуда искомая наименьшая частота . Ответ: ν0=170 Гц. Пример. Два электропоезда движутся навстречу друг другу со скоростями υ1=20 м/с и υ2=10 м/с. Первый поезд даёт свисток, высота тона которого соответствует частоте ν0=600 Гц. Определите частоту, воспринимаемую пассажиром второго перед встречей поездов и после их встречи. Скорость звука принять равной υ=332 м/с. Дано: υ1=20 м/с; υ2=10 м/с; ν0=600 Гц; υ=332 м/с. Найти: ν; ν'. Решение. Согласно общей формуле, описывающей эффект Доплера в акустике, частота звука, воспринимаемая движущимся приёмником, , (1) где ν0- частота звука, посылаемая источником; υпр - скорость движения приёмника; υист - скорость движения источника. Если источник и приёмник приближаются друг к другу, то берётся верхний знак, если удаляются – нижний знак. Согласно обозначениями, данным в задаче (υпр=υ2 и υист=υ1) и приведённым выше пояснениями, из формулы (1) искомые частоты, воспринимаемые пассажиром второго поезда: Перед встречей поездов (электропоезда сближаются): ; После встречи поездов (поезда удаляются друг от друга): Ответ: ν=658 Гц; ν' =549 Гц.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|