Тема: «Нелинейные регрессионные модели»

Последний номер зачетной книжки – 10, вычеркиваем 10 строку.

Теперь на основании имеющихся данных о потреблении цыплят (Y), среднедушевом доходе (X₁), стоимости одного фунта цыплят (X₂), стоимости одного фунта свинины (X₃) и стоимости одного фунта говядины (X₄) построим и сравним уравнения регрессии вида:

1)

2)

3)

4)

РЕШЕНИЕ:

При построении степенных уравнений регрессии использовался пакет SPSS, позволяющий путем применения логарифмического преобразования к объясняемой переменной Y и всем объясняющим переменным Xi линеаризовать модель для нахождения оценок параметров уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов. Таким образом, были получены следующие модели:

1. – функция спроса

Сначала построим линейную регрессию для прологарифмированных исходных переменных:

ln = ln b₀ + b₂ ln x₂

Обозначим y’ = ln , b ’ ₀ = ln b₀, x’₂ = ln x₂, получим линейную модель: y’ = b ’ ₀ + b₂ x’₂. Найдем для нее оценки параметров b ’ ₀, b₂. Затем, используя ППП SPSS, получим оценку уравнения регрессии, найденную с помощью метода наименьших квадратов, следующего вида:

= 4, 078 * (х₂)^{0, 532}

= 2,08; DW = 0,65; = 0, 1 %.

Значение t-критерия для проверки значимости коэффициента регрессии 6, 53 (t-табл = 2, 32). Несмотря на то, что все коэффициенты уравнения значимы (t-крит больше t-табл), оно является экономически не интерпретируемым. Это подтверждает положительное значение коэффициента эластичности э₂ = 0, 532, из чего следует, что с ростом цены на цыплят на 1 % спрос на них увеличится в среднем на 0, 532 %, что с экономической точки зрения является неверным. В модели не учитывается инфляционный процесс, рост среднедушевых доходов населения, происходящий в стране за рассматриваемые 19 периодов (лет), хотя за это время среднедушевой доход вырос в 5,4 раза, а стоимость цыплят – в 1, 8 раза.

2. - функция потребления.

= 5, 32 * (х₁)^{0, 283}

= 2,144; DW = 0,653; = 3, 02 %.

Данная модель интерпретируема. Однако вывод, что при увеличении среднедушевого дохода на 1 % потребление цыплят в среднем растет на 0,283 %, не учитывает динамику цены за рассматриваемый период. Модель характеризуется оценкой остаточной дисперсии = 2,144, статистикой Дарбина-Уотсона DW = 0,653, которая свидетельствует о положительной автокоррелированности случайных регрессионных остатков.

3. – функция спроса-потребления

= 7,515 * (х₁)^0,428 * (х₂)^-0,325

= 1,247; DW = 1,77; = 2, 2 %.

Из модели следует, что с ростом среднедушевого дохода на 1 % при неизменной стоимости цыплят их потребление в среднем увеличится на 0,428% (э₁=0,428). В модели, представленной функцией потребления, аналогичный вывод делается на фоне роста стоимости цыплят, чем обусловлена разница в коэффициентах эластичности э₁.

Увеличение же стоимости цыплят на 1 % при неизменном среднедушевом доходе приводит к уменьшению потребления в среднем на 0,325 %. Этот вывод интересно сравнивать с выводом, сделанным по модели функции спроса. Если в модели э₂ = 0,532 есть парный коэффициент эластичности, то в данной модели э₂ = -0,325 – это частный коэффициент эластичности. При этом парный и частный коэффициенты эластичности имеют разные знаки.

Модель функции спроса-потребления обладает хорошими аппроксимирующими свойствами, о чем свидетельствуют статистические характеристики адекватности (средняя ошибка аппроксимации, остаточная дисперсия, статистика Дарбина-Уотсона). Значения критерия Дарбина-Уотсона указывают на отсутствие автокоррелированности остатков.

4. - функция спроса с учетом цены на товары-заменители

Прологарифмировав исходную функцию, получим:

ln = ln b₀ + b₂ ln x₂ + b₃ ln x₃ + b₄ ln x_4.

Обозначив y’ = ln , b ’ ₀ = ln b₀, x’₂ = ln x₂, x’₃ = ln x₃, x’₄ = ln x₄, получим линейную модель:

y’ = b ’ ₀ + b₂ x’₂ + b₃ x’₃ + b₄ x’₄

Найдем для нее оценки параметров b ’ ₀, b₂, b₃, b₄.

Степенная регрессионная модель потребления цыплят с учетом цен на товарозаменители (свинину и говядину) имеет вид:

= 11,080 * (х₂)^-0,63 * (х₃)^0,345 * (х₄)^0,455

= 1,994; DW = 1,7; = 3, 03 %.

Модель характеризует зависимость объема потребления от стоимости цыплят (х₂) и цены на такие замещающие продукты, как свинина (х₃) и говядина (х₄). Из модели следует, что при неизменной стоимости двух сопутствующих продуктов увеличение на 1 % стоимости цыплят приводит к снижению их потребления в среднем на 0,63 %.

Увеличение стоимости свинины или говядины на 1% при неизменности цен на остальные входящие в модель продукты приводит к росту потребления цыплят в среднем соответственно на 0,345% и 0,455%.

По рассчитанным характеристикам адекватности, данная модель является менее адекватной, чем модель, построенная в 3-м пункте.

Таким образом, из четырех построенных моделей работоспособны все, кроме первой. Так как исходными при построении модели являются временные ряды годовых данных в реальных ценах, то это не позволяет учесть влияние инфляционных процессов и изменения реальных доходов. В этой связи предпочтение следует отдать двум последним моделям, которые экономически более содержательны и обладают достаточно хорошими статистическими характеристиками.

Заслуживает внимания также модифицированная функция спроса. В этой модели в качестве аргумента выступает переменная – стоимость 1 фунта цыплят, приходящаяся на единицу среднедушевого дохода. Этот удельный показатель более точно характеризует цену и используется при межстрановых и межрегиональных сопоставлениях цен.

5. - модифицированная функция спроса

= 1, 6; DW = 2, 2; = 2, 3 %.

Статистические характеристики модели свидетельствуют о ее адекватности. Из модели следует, что при увеличении объясняющей переменной на 1 % потребление цыплят снизится на 0, 488 %. Этот вывод согласуется с экономической сущностью явления.

Модель можно представить также в виде:

= 9,32 * (х₁)^0,488 * (х₂)^-0,488

В таком уравнение сопоставимо с моделью 3, даже по знакам при коэффициентах регрессии. Однако показатели адекватности у этой модели хуже, чем у 3. Последнее можно объяснить тем, что при построении модели 5 на ее параметры было наложено ограничение (дополнительное условие b₁ = – b₂), что и привело к увеличению остаточной дисперсии.