Практикум по линейной алгебре
Задачи и упражнения к главе 1. 1.1. Выполнить указанные операции со строками: a) в) д) ж) (1; 1; -3; 2) + (-1; -1; -3; -2); з) 4 × (4; 1; 2; 0) - 7 × (2; -1; 0; –5); г) 5 × (-1; 3; -2) - 2 × (5; 0; -5) + 3 × (5; -5; 0). 1.2. Выполнить указанные операции с матрицами: а) б) в) г) д) 1.3. Найти матрицу а) б) в) 1.4. Образуют ли все геометрические прогрессии с 4 членами линейное пространство? 1.5. Проверьте, что следующие три множества с заданными на них операциями являются линейными пространствами: а). Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве или на плоскости) со стандартными операциями сложения и умножения на число. б). Множество всех многочленов степени, не превышающей k: Указание. Поскольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами, остаётся проверить выполнение аксиомам Л1) – Л8). в). Множество непрерывных на отрезке [ a, b ] функций C [ a, b ]. Указание. Возьмём две непрерывные на [ a, b ] функции f (x), g (x). Так как как сумма непрерывных функций f (x)+ g (x) непрерывна на [ a, b ] и 1.6. Умножить строку на столбец: 1) 5) 8) 1.7. Умножить матрицу на столбец: 1) 1.8. Вычислить произведения матриц. 1) 12) 15) 18) 21) 23) 25)
1.9. Вычислить 1) 3) 5) 7) 8) 9) 10) 11) Случайно ли на главной диагонали в задачах 1)-6) получаются взаимно противоположные числа?
1.10. Выполнить операции с матрицами: 1) 5) 1.11. Вычислить произведения матриц: 1). 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17) 19) 21) 23) 25) 27) 29) 1.12. Положим Вычислить: 1.13. Проверить, что 1.14. Вычислить: а) 1.15. Пусть 1.16. Найти значение многочлена а) б) в) г) 1.17. Даны матрицы 1). 2). 3). 4). 5). 6) 7). 8). 9). 10). 11). 12). 13). 14). 15). 1.18. Приведите пример, показывающий, что произведение матриц некоммутативно. 1.19. Придумайте условие, при котором для двух матриц A и B справедливы формулы разности квадратов, квадрата разности и квадрата суммы: 1.20. Вычислить определители: 1) 11) 1.21. Вычислить определители по правилу треугольников или правилу Саррюса: 1). 4). 7). 10. 12). 1.22. Вычислить определители разложением по строке (столбцу). 1). 5). 8). 1.23. Вычислить определители, используя их свойства. 1). 5). 9). 1.24. Числа 551, 377и 319 кратны числу 29. Докажите, что определитель 1.25. Докажите, что определитель 1.26. Числа 1.27. Элементами матрицы знаков алгебраических дополнений служат знаки «плюс» и «минус», причем в В задачах 1.28.–1.29 определители можно вычислить, применяя разложение по строке (столбцу), преобразуя определители с помощью элементарных преобразований строк и используя их свойства.
Элементарные преобразования строк: 1) перемена двух строк местами; 2) прибавление к одной из строк определителя другой строки, умноженной на некоторое число; 3) умножение некоторой строки определителя на число, не равное нулю. Напомним, что при преобразовании первого типа, определитель меняет свой знак; при преобразовании второго типа не меняется; и при преобразовании третьего типа, определитель умножается на то число, на которое была умножена строка. 1.28. Вычислить определители: 1). 3). 7). 10). 1.29. Вычислить определители: 1). 15). 1.30. Разложите определитель 1) по первому столбцу (строке); 2) по последнему столбцу (строке). 1.31. Какие из следующих бинарных отношений являются подстановками: 1) 1.32. Найти знак перестановки двумя способами (по числу инверсий и при помощи транспозиций): 1). 3 2 1; 2). 2 3 1 4; 3). 3 1 2 4; 4). 2 4 1 3; 5). 5 2 3 4 1; 6). 1 4 3 2 5; 7). 6 7 2 5 1 3 4; 8). 7 2 3 1 5 4 6; 9). 6 5 3 1 2 4 7; 10). 5 3 4 7 6 1 2. 1.33. а). Найдите число инверсий в подстановке, определите ее четность и знак по числу инверсий. б). Представьте подстановку в виде произведения независимых циклов, определите ее четность и знак по декременту. в). Определите четность подстановки и её знак при помощи транспозиций. 1). 3). 6). 8). 10). 1.34. С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков: 1). 6). 10). 13). 1.35. Найти определитель, вычислив знак соответствующей подстановки 1). 5). 8). 1.36. Найдите обратные подстановки: 1). 1.37. Пусть
1.38. Пусть
Обозначим через
Докажите, что подстановки
Докажите, что это соответствие является взаимно однозначным. 1.39. Докажите, что определитель, элементы двух строк (столбцов) которого соответственно пропорциональны, равен нулю. 1.40. Матрица называется кососимметрической, если 1.41. Чему равен определитель, если сумма его строк с четными номерами равна сумме его строк с нечетными номерами? 1.42. Чему равен определитель, одна строка которого равна сумме всех остальных строк? 1.43. Пусть Ответы на задачи к главе 1 1.1. a) 1.2. а) д) 1.3. a) 1.4. Нет. 1.6. 1) 6) 1.7. 1) 6) 1.8. 1) 9) 12). 15) 19) 24)
1.9. 1) 3) 5) 7) 9) 11). Следующая формула показывает, что не случайно. Если 1.10. 1) 7) 1.11. 1) 1.14. а) 1.15. 1.16. а) 1.17. 1). 1.20. 1). 10; 2). 1.21. 1). 72; 2) 11). 20. 12). –22.
1.22. 1). 1.23. 1). 2. 2). 0. 3). 0. 4). 60. 5). 12. 6) 6. 7). 1.24. 1).
1.29. Указание. Практическое значение теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) заключается в следующем. Используя свойства определителей, получаем нули в какой-нибудь строке или столбце определителя n -го порядка Затем применяя о разложении определителя по строке (столбцу), переходим к определителю, порядок которого на единицу меньше. В свою очередь, определитель (п – 1)-го порядка можно свести к определителю (п – 2)-го порядка и т. д., пока задача не сведется к определителю третьего или второго порядка.
1) . – 56.Указание.Сведем вычисление определителя 5-го порядка
2). |