 |
Практикум по линейной алгебре
|
|
|
|
Задачи и упражнения к главе 1.
Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
1.1. Выполнить указанные операции со строками:
a) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) (1; 2; 1) + (-1; -1; -2);
ж) (1; 1; -3; 2) + (-1; -1; -3; -2);
з) 4 × (4; 1; 2; 0) - 7 × (2; -1; 0; –5);
г) 5 × (-1; 3; -2) - 2 × (5; 0; -5) + 3 × (5; -5; 0).
1.2. Выполнить указанные операции с матрицами:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
1.3. Найти матрицу 
если:
а) 
б) 
в) 
1.4. Образуют ли все геометрические прогрессии с 4 членами линейное пространство?
1.5. Проверьте, что следующие три множества с заданными на них операциями являются линейными пространствами:
а). Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве или на плоскости) со стандартными операциями сложения и умножения на число.
б). Множество всех многочленов степени, не превышающей k: 
, где a 
, a 
, …, a 
- произвольные вещественные числа, 
).
Указание. Поскольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами, остаётся проверить выполнение аксиомам Л1) – Л8).
в). Множество непрерывных на отрезке [ a, b ] функций C [ a, b ].
Указание. Возьмём две непрерывные на [ a, b ] функции f (x), g (x). Так как как сумма непрерывных функций f (x)+ g (x) непрерывна на [ a, b ] и 
также непрерывна, то остаётся проверить, что выпонение аксиомам Л1) – Л8).
1.6. Умножить строку на столбец:
1) 
; 2) 
;3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
;
8) 
; 9) 
; 10) 
.
1.7. Умножить матрицу на столбец:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
.
1.8. Вычислить произведения матриц.
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
; 11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
; 16) 
; 17) 
;
18) 
; 19) 
; 20) 
;
21) 
; 22) 
;
23) 
; 24) 
;
25) 
.
1.9.
Вычислить 
, если
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) Случайно ли на главной диагонали в задачах 1)-6) получаются взаимно противоположные числа?
|
|
|
1.10. Выполнить операции с матрицами:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.11. Вычислить произведения матриц:
1). 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
;
17) 
; 18) 
19) 
; 20) 
;
21) 
; 22) 
;
23) 
; 24) 
;
25) 
; 26) 
;
27) 
; 28) 
;
29) 
.
1.12. Положим 
, 
,..., 
.
Вычислить: 
1.13. Проверить, что 
.
1.14. Вычислить: а) 
; б) 
; в) 
.
1.15. Пусть 
Найти 
где 
1.16. Найти значение многочлена 
, если:
а) 
= 
; 
= 
= 
;
б) = 
; = 
;
в) = ; = 
;
г) 
= 
; = 
.
1.17. Даны матрицы и 
Вычислить матрицу 
, если:
1). 
; 
; 
.
2). 
; 
; 
.
3). 
; 
; 
.
4). 
; 
; 
.
5). 
; 
; 
.
6) 
; 
; 
.
7). 
; 
; 
8). 
; 
; 
.
9). 
; 
; 
.
10). 
; 
; .
11). 
; 
; 
.
12). 
; 
; .
13). 
; 
; 
.
14). 
; 
; 
.
15). 
; 
; .
1.18. Приведите пример, показывающий, что произведение матриц некоммутативно.
1.19. Придумайте условие, при котором для двух матриц A и B справедливы формулы разности квадратов, квадрата разности и квадрата суммы: 
, 
. Верны ли эти формулы для двух произвольных квадратных матриц одного порядка.
1.20. Вычислить определители:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
;
11) 
.
1.21. Вычислить определители по правилу треугольников или правилу Саррюса:
1). 
. 2). 
. 3). 
.
4). 
. 5). 
. 6). 
.
7). 
. 8). 
. 9). 
.
10. 
. 11). 
.
12). 
1.22. Вычислить определители разложением по строке (столбцу).
1). 
. 2). 
. 3). 
. 4). 
.
5). 
. 6). 
. 7). 
.
8). 
. 9). 
. 10). 
.
1.23. Вычислить определители, используя их свойства.
1). 
. 2). 
. 3). 
. 4). 
.
5). 
. 6). 
. 7). 
. 8). 
.
9). 
. 10). 
. 11). 
.
12). 
.
1.24. Числа 551, 377и 319 кратны числу 29. Докажите, что определитель 
делится на 29 без остатка, не вычисляя этот определитель.
1.25. Докажите, что определитель 
делится на 2, на 9 и на 18 без остатка, не вычисляя этот определитель.
1.26. Числа 
, 
и 
кратны числу 
. Не вычисляя определитель 
, докажите, что 
и, следовательно, 
.
1.27. Элементами матрицы знаков алгебраических дополнений служат знаки «плюс» и «минус», причем в 
–й строке на 
–м месте стоит «плюс», если 
–четное число, в противном случае – знак «минус». Составьте такую матрицу порядка: 1) три; 2) четыре; 3) пять.
В задачах 1.28.–1.29 определители можно вычислить, применяя разложение по строке (столбцу), преобразуя определители с помощью элементарных преобразований строк и используя их свойства.
|
|
|
Элементарные преобразования строк:
1) перемена двух строк местами;
2) прибавление к одной из строк определителя другой строки, умноженной на некоторое число;
3) умножение некоторой строки определителя на число, не равное нулю.
Напомним, что при преобразовании первого типа, определитель меняет свой знак; при преобразовании второго типа не меняется; и при преобразовании третьего типа, определитель умножается на то число, на которое была умножена строка.
1.28. Вычислить определители:
1). 
; 2). 
; 3). 
;
3). 
; 5). 
; 6). 
;
7). 
; 8). 
; 9). 
;
10). 
; 11). 
; 12) 
1.29. Вычислить определители:
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
; 5). 
; 6). 
;
7). 
; 8). 
;
9). 
; 10). 
;
11). 
; 12). 
;
13). 
; 14). 
;
15). 
; 16). 
.
1.30. Разложите определитель
1) по первому столбцу (строке);
2) по последнему столбцу (строке).
1.31. Какие из следующих бинарных отношений являются подстановками:
1) 
, 2) 
, 3) 
, 4) 
?
1.32. Найти знак перестановки двумя способами (по числу инверсий и при помощи транспозиций):
1). 3 2 1; 2). 2 3 1 4; 3). 3 1 2 4; 4). 2 4 1 3; 5). 5 2 3 4 1; 6). 1 4 3 2 5;
7). 6 7 2 5 1 3 4; 8). 7 2 3 1 5 4 6; 9). 6 5 3 1 2 4 7; 10). 5 3 4 7 6 1 2.
1.33. а). Найдите число инверсий в подстановке, определите ее четность и знак по числу инверсий.
б). Представьте подстановку в виде произведения независимых циклов, определите ее четность и знак по декременту.
в). Определите четность подстановки и её знак при помощи транспозиций.
1). 
; 2). 
;
3). 
; 4). 
; 5). 
;
6). 
; 7). 
;
8). 
9). 
;
10). 
.
1.34. С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков:
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
; 5). 
;
6). 
; 7). 
; 8). 
; 9). 
;
10). 
; 11). 
; 12). 
;
13). 
; 14). 
; 15). 
?
1.35. Найти определитель, вычислив знак соответствующей подстановки
1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
;
5). 
; 6). 
; 7). 
;
8). 
; 9). 
.
1.36. Найдите обратные подстановки:
1). 
, 2). 
, 3). 
.
1.37. Пусть 
– подстановка 
-ой степени, такая что 
. Вычеркнем в этой подстановке столбец 
. Затем в верхней строке уменьшим все числа, большие числа 
, на единицу. И, наконец, в нижней строке уменьшим все числа, большие числа 
, на единицу. Получим подстановку 
. Покажите, что 
. Выполните указанную операцию с последним столбцом подстановки 
.
1.38. Пусть 
Рассмотрим следующие подстановки -ой степени
и
.
Обозначим через 
множество подстановок из 
таких, что 
и рассмотрим взаимно однозначное отображение 
такое, что 
является результатом удаления последнего столбца 
подстановки 
для любой подстановки 
.
|
|
|
Докажите, что подстановки 
в разложении минора 
могут быть получены из соответствующих подстановок по правилу 
. Это правило позволяет поставить в соответствие члену определителя 
, содержащему 
в качестве сомножителя, элемент минора :
.
Докажите, что это соответствие является взаимно однозначным. . Докажите, что . Используя отображение 
, докажите теорему о разложении определителя по строке (столбцу).
1.39. Докажите, что определитель, элементы двух строк (столбцов) которого соответственно пропорциональны, равен нулю.
1.40. Матрица называется кососимметрической, если 
. Чему равен определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка?
1.41. Чему равен определитель, если сумма его строк с четными номерами равна сумме его строк с нечетными номерами?
1.42. Чему равен определитель, одна строка которого равна сумме всех остальных строк?
1.43. Пусть 
– определитель Вандермонда. Доказать, что 
Ответы на задачи к главе 1
1.1. a) 
б) 
в) 
г) 
д) 
.
1.2. а) 
; б) 
в) 
; г) 
;
д) 
.
1.3. a) 
; б) 
; в) 
.
1.4. Нет.
1.6. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) ; 10) 
.
1.7. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
; 9) 
; 10) 
.
1.8. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
; 11) 
12). 
13) 
14) 
15) 
16) 
; 17) 
; 18) 
;
19) 
. 20) 
; 21) 
; 22) 
; 23) 
;
24) 
; 25) 
.
1.9.
1) 
2) 
3) 
4) 
;
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
.
11). Следующая формула показывает, что не случайно.
Если 
, 
то 
1.10. 1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
1.11.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
26) 
27) 
28) 
29) 
.
1.14. а) 
б) 
в) 
1.15. 
1.16. а) ; б) 
; в) 
; г) 
1.17. 1). 
; 2). 
; 3). 
; 4). 
; 5). 
; 6). 
; 7). 
; 8). 
; 9). 
; 10). 
; 11). 
; 12). 
; 13). 
; 14). 
; 15). 
.
1.20. 1). 10; 2). 
; 3) 3; 4) 
; 5). 1; 6). 27; 7). 7; 8). 17.
9). 
; 10). 
; 11). 
.
1.21. 1). 72; 2) 
; 3). 9; 4). 27; 5). 
; 6). 
; 7). 0; 8). 40; 9). 
; 10). 6;
11). 20. 12). –22.
1.22. 1). 
; 2). 3; 3). 
; 4). 21; 5). 0;
6). 
; 7). 10; 8). 12; 9). 20; 10). .
1.23. 1). 2. 2). 0. 3). 0. 4). 60. 5). 12. 6) 6. 7). 
. 8). 0. 9). 0.
10). 198. 11). 
. 12). 
.
1.24. 1). 
; 2). 
; 3). ; 4). 
; 5). ;
6). ; 7). ; 8). 
; 9). 
; 10). 
; 11). 
.
12). 24.
1.29. Указание. Практическое значение теоремы о разложении определителя по строке (столбцу) заключается в следующем. Используя свойства определителей, получаем нули в какой-нибудь строке или столбце определителя n -го порядка Затем применяя о разложении определителя по строке (столбцу), переходим к определителю, порядок которого на единицу меньше. В свою очередь, определитель (п – 1)-го порядка можно свести к определителю (п – 2)-го порядка и т. д., пока задача не сведется к определителю третьего или второго порядка.
|
|
|
1) . – 56.Указание.Сведем вычисление определителя 5-го порядка 
к вычислению определителя 4-го порядка. Вычтем из третьего столбца определителя его удвоенный первый столбец
.
2). 
; 3). 
;
