Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование неопределенного интеграла методом подстановки. Неопределенный интеграл. Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке. Свойства: 1. 2. 3. 4.
Способ подстановки (замены переменных). Теорема: Если требуется найти интеграл Доказательство: Продифференцируем предлагаемое равенство: По рассмотренному выше свойству №2 неопределенного интеграла: что с учетом введенных обозначений и является исходным предположением. Теорема доказана. Пример. Найти неопределенный интеграл Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt. Пример. Замена Получаем: Интегрирование неопределенного интеграла по частям. Интегрирование по частям.
u¢v + v¢ = u¢(uv) где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu Проинтегрировав, получаем:
Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций. Пример.
Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.
Пример.
Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.
Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.
Интегрирование рациональных функций. Функция Если Если где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины. При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х. Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере. Пример. Т.к. ( Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:
Итого:
Пример. Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:
Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Таким образом: 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Тогда:
Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем: Окончательно получаем:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|