Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Краткий обзор алгоритмов решения задач данного типа

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТАБЛИЧНОГО СИМПЛЕКС-МЕТОДА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

 

ВВЕДЕНИЕ

 Цель данного курсового проекта - составить план производства требуемых изделий, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, свести данную задачу к задаче линейного программирования, решить её симплекс - методом и составить программу для решения задачи этим методом на ЭВМ.

 

КРАТКИЙ ОБЗОР АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДАННОГО ТИПА

1.1 Математическое программирование

 

Математическое программирование занимается изучение экстремальных задач и поиском методов их решения. Задачи математического программирования формулируются следующим образом: найти экстремум некоторой функции многих переменных f (x1, x2,..., xn) при ограничениях gi (x1, x2,..., xn) * bi, где gi - функция, описывающая ограничения, * - один из следующих знаков £, =, ³, а bi - действительное число, i = 1,..., m. f называется функцией цели (целевая функция).

Линейное программирование - это раздел математического программирования, в котором рассматриваются методы решения экстремальных задач с линейным функционалом и линейными ограничениями, которым должны удовлетворять искомые переменные.

Задачу линейного программирования можно сформулировать так. Найти max

при условии: a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn £ b1;

 a21 x1 + a22 x2 +... + a2n xn £ b2;

 ............................

 am1 x1 + am2 x2 +... + amn xn £ bm;

 x1 ³ 0, x2 ³ 0,..., xn ³ 0.

Эти ограничения называются условиями неотрицательности. Если все ограничения заданы в виде строгих равенств, то данная форма называется канонической.

 

В матричной форме задачу линейного программирования записывают следующим образом. Найти max cT x

при условии

A x £ b;

x ³ 0,

где А - матрица ограничений размером (m´n), b(m´1) - вектор-столбец свободных членов, x(n ´ 1) - вектор переменных, сТ = [c1, c2,..., cn ] - вектор-строка коэффициентов целевой функции.

Решение х0 называется оптимальным, если для него выполняется условие сТ х0 ³ сТ х, для всех х Î R(x).

Поскольку min f(x) эквивалентен max [ - f(x) ], то задачу линейного программирования всегда можно свести к эквивалентной задаче максимизации.

Для решения задач данного типа применяются методы:

1) графический;

2) табличный (прямой, простой) симплекс - метод;

3) метод искусственного базиса;

4) модифицированный симплекс - метод;

5) двойственный симплекс - метод.

 

 1.2 Табличный симплекс - метод

 

Для его применения необходимо, чтобы знаки в ограничениях были вида “ меньше либо равно ”, а компоненты вектора b - положительны.

Алгоритм решения сводится к следующему:

 Приведение системы ограничений к каноническому виду путём введения дополнительных переменных для приведения неравенств к равенствам.

 Если в исходной системе ограничений присутствовали знаки “ равно ” или “ больше либо равно ”, то в указанные ограничения добавляются

искусственные переменные, которые так же вводятся и в целевую функцию со знаками, определяемыми типом оптимума.

 Формируется симплекс-таблица.

 Рассчитываются симплекс-разности.

 Принимается решение об окончании либо продолжении счёта.

 При необходимости выполняются итерации.

 На каждой итерации определяется вектор, вводимый в базис, и вектор, выводимый из базиса. Таблица пересчитывается по методу Жордана-Гаусса или каким-нибудь другим способом.

 

1.3 Метод искусственного базиса

 

Данный метод решения применяется при наличии в ограничении знаков “ равно ”, “ больше либо равно ”, “ меньше либо равно ” и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами m, а в задачи минимизации - с положительными m. Таким образом из исходной получается новая m - задача.

Если в оптимальном решении m - задачи нет искусственных переменных, это решение есть оптимальное решение исходной задачи. Если же в оптимальном решении m - задачи хоть одна из искусственных переменных будет отлична от нуля, то система ограничений исходной задачи несовместна и исходная задача неразрешима.

 1.4 Модифицированный симплекс - метод

В основу данной разновидности симплекс-метода положены такие особенности линейной алгебры, которые позволяют в ходе решения задачи работать с частью матрицы ограничений. Иногда метод называют методом обратной матрицы.

В процессе работы алгоритма происходит спонтанное обращение матрицы ограничений по частям, соответствующим текущим базисным векторам. Указанная способность делает весьма привлекательной машинную реализацию вычислений вследствие экономии памяти под промежуточные переменные и значительного сокращения времени счёта. Хорош для ситуаций, когда число переменных n значительно превышает число ограничений m.

В целом, метод отражает традиционные черты общего подхода к решению задач линейного программирования, включающего в себя канонизацию условий задачи, расчёт симплекс-разностей, проверку условий оптимальности, принятие решений о коррекции базиса и исключение Жордана-Гаусса.

Особенности заключаются в наличии двух таблиц - основной и вспомагательной, порядке их заполнения и некоторой специфичности расчётных формул.

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...