Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Регрессионный анализ рынка труда.

Основные понятия.

С целью математического описания конкретного вида зависимостей с использованием регрессионного анализа подбирают класс функций, связывающих результативный показатель y и аргументы x 1, x 2,…, х k, отбирают наиболее информативные аргументы, вычисляют оценки неизвестных значений параметров уравнения связи и анализируют точность полученного уравнения.
Функция f (x 1, x 2,…, х k), описывающая зависимость условного среднего значения результативного признака у от заданных значений аргументов, называется функцией (уравнением) регрессии.

Термин "регрессия" (лат. - "regression" - отступление, возврат к чему-либо) введен английским психологом и антропологом Ф.Гальтпном и связан только со спецификой одного из первых конкретных примеров, в котором это понятие было использовано.

Обрабатывая статистические данные в связи с вопросом о наследственности роста, Ф.Гальтон нашел, что если отцыотклоняются от среднего роста всех отцов на x дюймов, то их сыновья отклоняются от среднего роста всех сыновей меньше, чем на x дюймов. Выявленная тенденция была названа «регрессией к среднему состоянию».

Термин регрессия широко используется в статистической литературе, хотя во многих случаях он недостаточно точно характеризует понятие статистической зависимости.

Для точного описания уравнения регрессии необходимо знать условный закон распределения результативного показателя у. В статистической практике такую информацию получить обычно не удается, поэтому ограничиваются поиском подходящих аппроксимаций для функции f (x 1, x 2,…, х k), основанных на исходных статистических данных.

В рамках отдельных модельных допущений о типе распределения вектора показателей (у, x 1, x 2,…, х k) может быть получен общий вид уравнения регрессии f (x)= M (y / x) x = (x 1, x 2,…, х k) . Например, в предложении, что исследуемая совокупность показателей подчиняется (k + 1) - мерному нормальному закону распределения с вектором математических ожиданий

M = ,

где Mx = , m y = MY

и ковариационной матрицей S = ,

где s yy = s 2 y = M (y-M y) ;

S yx = ; S xx = ;

s ij = M (x i – Mx i);(x j – Mx j); s jj = s j = M (x j – Mx j) .

Из этого следует, что уравнение регрессии (условное математическое ожидание) имеет вид:

M(y/x) = m y + (x - Mx).

Таким образом, если многомерная случайная величина (у, x 1, x 2,…, х k) подчиняется (k +1)-мерному нормальному закону распределения, то уравнение регрессии результативного показателя у по объясняющим переменным x 1, x 2,…, х k имеет линейный по х вид.

Однако в статистической практике обычно приходится ограничиваться поиском подходящих аппроксимаций для неизвестной истинной функции регрессии f (x), так как исследователь не располагает точным знанием условного закона распределения вероятностей анализируемого результатирующего показателя у при заданных эначениях аргументов х=х.

Рассмотрим взаимоотношение между истиной f (х)= M (y / x), модельной у и оценкой у регрессии.

Пусть результативный показатель у связан с аргументом х соотношением::

y = + e,

где e - случайная величина, имеющая нормальный закон распределения, причем М e = 0 и

D e = .

Истинная функция регрессии в этом случае имеет вид:

F(x) = M(y/x) = 2 x .

Предположим, что точный вид истинного уравнения регрессии нам не известен, но мы располагаем девятъю наблюдениями над двумерной случайной величиной, связанной соотношением у i = 2 x + e i, ипредcтавленной на рисунке:

f(x)

0 2 4 6 8 10

Взаимное расположение истинной f (x) и теоритической у модели регрессии.

Расположение точек на рисунке позволяет ограничиться классом линейных зависимостей вида: у = b 0 + b 1 x.

С помощью метода наименьших квадратов найдем оценку уравнения регрессии

у = b 0 + b 1 x.

Дли сравнения на рисунке приводятся графики истинной функции регрессии f {х) = 2 x ,теоретической аппроксимирующей функции регрессии = b 0 + b 1 x. К последней сходится по вероятности оценка уравнения регрессии при неограниченном увеличении объема выборки (n ).

Поскольку мы ошиблись в выборе класса функции регрессии, что, к сожалению, достаточно часто встречается в практике статистических исследований, то наши статистические выводы и оценки не будут обладать свойством состоятельности, т.е., как бы

мы не увеличивали объем наблюдений, наша выборочная оценка не будет сходиться к истинной функции регрессии f (х).

Если бы мы правильно выбрали класс функций регрессии, то неточность в описании f (x) с помощью объяснялась бы только ограниченностью выборки и, следовательно, она могла бы быть сделана сколько угодно малой при n .

С целью наилучшего восстановления по исходным статистическим данным условного значения результатирующего показателя у(х) и неизвестной функции регрессии f (x) = M (y / x) наиболее часто используют следующие критерии адекватности (функции потерь).

1. Метод наименьших квадратов, согласно которому минимизируется квадрат отклонения наблюдаемых значений результативного показателя y i (i = 1,2,…, n) от модельных значений i = f (xi, b), где b = (b 0, b 1,…, b k) - коэффициенты уравнения регрессии, x i – значение вектора аргументов в i -м наблюдении:

Решается задача отыскания оценки вектора b. Получаемая регрессия называется среднеквадратической.

2. Метод наименьших модулей, согласно которому минимизируется сумма абсолютных отклонений наблюдаемых значений результативного показателя от модульных значений = f (x i, b), т.е.

Получаемая регрессия называется среднеабсолютной (медианой).

3. Метод минимакса сводится к минимизации максимума модуля отклонения наблюдаемого значения результативного показателя y i от модельного значения f (x i, b), т.е.

Получаемая при этом регрессия называется минимаксной.

В практических положениях часто встречаются задачи, в которых изучается случайная величина у, зависящая от некоторого множества переменных x 1, x 2,…, х k и неизвестных параметров b j (j = 0,1,2,…, k). Будем рассматривать (у, x 1, x 2,…, х k) как

(k + 1) – мерную генеральную совокупность, из которой взята случайная выборка объемов n, где (у i, x i 1, x i 2,…, x ik)результат i -го наблюдения i = 1,2,…, n. Требуется по результатам наблюдений оценить неизвестные параметры b j (j = 0,1,2,…, k).

Описанная выше задача относится к задачам регрессионного анализа.

Регрессионным анализом называется метод статистического анализа зависимости случайной величины у от переменных x j (j = 1,2,…, k), рассматриваемых в регрессионном анализе как неслучайные величины, независимо от истинного закона распределения x j.

Обычно предполагается, что случайная величина у имеет нормальный закон распределения с условным математическим ожиданием , являющимся функцией от аргументов x j (j = 1,2,…, k)и постоянной, не зависящей от аргументов дисперсий , т.е. следует помнить, что требование нормальности закона распределения необходимо лишь для проверки значимости уравнения регрессии и его параметров b j, а также для интервального оценивания регрессии и его параметров b j. Для получения точечных оценок b j (j = 0,1,2,…, k)этого условия не требуется.

В общем виде линейная модель регрессионного анализа имеет вид:

у = ,

где jj – некоторая функция его переменных x 1, x 2,…, х k;

e - случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией s

Примечание.

В регрессионном анализе под линейной моделью подразумевает модель, линейно зависящую о неизвестных параметров b j.

Собственно линейной будем называть модель, линейно зависящую как от параметров b j, так иот переменных х j.

В регрессионном методе вид уравнения регрессии выбирают исходя из анализа физической сущности изучаемого явления и результатов наблюдения.

Наиболее часто встречаются следующие виды уравнений регрессии:

· собственно линейное многомерное

= ;

· полиномиальное

= ;

· гиперболическое

= ;

· степенное

= .

Путем логарифмирования степенные уравнения регрессии могут быть преобразованы в линейные уравнения относительно параметров b j.

Логарифмируя, получим:

Пусть lg x j = u j для j =1,2,…, k; и , тогда после подстановки будем иметь собственно линейные уравнения регрессии:

= .

Путем подстановок и гиперболическое и полиномиальное уравнения могут быть преобразованы в собственно линейные, теория которых разработана наиболее полно.

Оценки неизвестных параметров уравнения регрессии находят обычно методом наименьших квадратов и свойствах оценок, найденных этим методом.

Регрессионный анализ рынка труда.

В общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит не только в количественной оценке их наличия, направления и силы связи, но и в определении формы (аналитического выражения) влияния факторных признаков на результативный. Для ее решения применяют метод регрессионного анализа.

Задачами регрессионного анализа являются выбор типа модели (формы связи), установление степени влияния независимых переменных на зависимую и определение расчетных значений зависимой переменной (функции регрессии).
Решение всех названных задач приводит к необходимости комплексного использования этого метода.

Для характеристики влияния изменений Х на вариацию У служат методы регрессионного анализа. В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель:
Yi = ao + a1·Xi +?i,i = 1,...,n,
где n - число наблюдений; ao, a1 - неизвестные параметры уравнения;?i - ошибка случайной переменной У.
Уравнение регрессии записывается как
Уi теор = ao + a1·Xi,
где Уi теор - рассчитанное выравненное значение результативного признака после подстановки в уравнение Х.

Параметры ao и a1 оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение из которых получил метод наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что наилучшие оценки ao и a1 получают, когда
?(Yi - Уi теор)? = min,
т.е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от вычисленных по уравнению регрессии должна быть минимальной. Сумма квадратов отклонений является функцией параметров ao и a1. Ее минимизация осуществляется решением системы уравнений:
n ao + a1?X =?У;
ao?X + a1?X? =?ХУ.

Важен смысл параметров: a1 - это коэффициент регрессии, характеризующий влияние, которое оказывает Х на У. Он показывает, на сколько единиц в среднем изменится У при изменении Х на одну единицу. Если a1 больше 0, то наблюдается положительная связь. Если a1 имеет отрицательное значение, то увеличение Х на единицу влечет за собой уменьшение У в среднем на a1. Параметр a1 обладает размерностью отношения У к Х.

Параметр ao - это постоянная величина в уравнении регрессии. Экономического смысла она не имеет, но в ряде случаев его интерпретируют как начальное значение У.

Рассмотрим регрессионную зависимость доли убыточных промышленных предприятий от показателей, характеризующих степень разгосударствления промышленности. Результаты расчетов приведены в табл. 1-8.

Таблица 1. Результаты анализа от 3 характеристик разгосударствления промышленности:

Множественный коэффициент корреляции (R)	0,556
R-квадрат	0,309
Нормированный R-квадрат	0,281
Стандартная ошибка	8,517
Наблюдения	78
F-статистика	11,046
DW-статистика	1,036

Таблица 2. Коэффициенты линейной регрессии:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Свободный член	131,428	16,091	8,168	0,000
Доля предприятий	-0,587	0,200	-2,933	0,004
Доля продукции	-0,040	0,159	-0,249	0,804
Доля работающих	-0,267	0,182	-1,468	0,146

Приведенные результаты показывают, что построенная регрессия в целом значима на высоком уровне (F = 11,046). Однако лишь связь доли убыточных предприятий промышленности с долей предприятий негосударственного сектора значимо отрицательна (P_v = 0,004). В то же время связь доли убыточных предприятий а с долей работающих на негосударственных промышленных предприятиях и долей продукции, производимой промышленными предприятиями негосударственного сектора, отрицательна, но незначима (P_v = 0,146 и 0,804, соответственно). Кроме того, значение статистики DW = 1,036 свидетельствует о наличии автокорреляции в остатках. Построим регрессию без показателя доли производимой продукции. Результаты приведены в табл. 3 и 4.

Таблица 3. Результаты регрессионного анализа от 2 характеристик разгосударствления промышленности:

Множественный коэффициент корреляции (R)	0,556
R-квадрат	0,309
Нормированный R-квадрат	0,290
Стандартная ошибка	8,464
Наблюдения	78
F-статистика	16,747
DW-статистика	1,035

Таблица 4. Коэффициенты линейной регрессии:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Свободный член	130,652	15,687	8,329	0,000
Доля предприятий	-0,582	0,198	-2,941	0,004
Доля работающих	-0,303	0,109	-2,789	0,007

Как видно из приведенных результатов, в данном случае построенная регрессия значима даже на 1% уровне (F = 16,747). Регрессионные коэффициенты также значимы на 1% уровне. Однако значение статистики DW = 1,035 и в этом случае свидетельствует о наличии автокорреляции в остатках. Поэтому построим регрессию от всех трех показателей с учетом преобразования Кохрана-Орката, позволяющего избавиться от автокоррелированности остатков. Результаты приведены в табл. 5 и 6.

Таблица 5. Результаты регрессионного анализа от 3 характеристик разгосударствления промышленности (П1, П2 и Р) с учетом преобразования Кохрана-Орката:

Множественный коэффициент корреляции (R)	0,605
R-квадрат	0,366
Нормированный R-квадрат	0,331
Стандартная ошибка	7,520
Наблюдения	78
F-статистика	13,880
DW-статистика	2,220

Таблица 6. Коэффициенты линейной регрессии с учетом преобразования Кохрана-Орката:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Свободный член	121,667	13,491	9,016	0,000
Доля предприятий	-0,524	0,166	-3,150	-0,002
Доля продукции	-0,012	0,126	-0,097	-0,923
Доля работающих	-0,247	0,145	-1,701	-0,093

Приведенные результаты показывают, что построенная регрессия значительно лучше по всем параметрам регрессии, характеристики которой приведены в табл. П.5.6. и П.5.7: она в целом значима на высоком уровне (F = 13,880), множественной коэффициент корреляции равен 0,605 против 0,556. Связь доли убыточных предприятий промышленности с долей предприятий негосударственного сектора значимо отрицательна (P_v = 0,002). Связь доли убыточных предприятий с долей работающих на негосударственных промышленных предприятиях становится значимой на 10% уровне (P_v = 0,093). Однако связь с долей продукции, производимой промышленными предприятиями негосударственного сектора остается не значимой (P_v = 0,923). Поэтому построим регрессию без показателя доли производимой продукции. Результаты приведены в табл. 7 и 8.

Таблица 7. Результаты регрессионного анализа от 2 характеристик разгосударствления промышленности (П1 и Р) с учетом преобразования Кохрана-Орката:

Множественный коэффициент корреляции (R)	0,605
R-квадрат	0,366
Нормированный R-квадрат	0,340
Стандартная ошибка	7,468
Наблюдения	78
F-статистика	21,104
DW-статистика	2,218

Таблица 8. Коэффициенты линейной регрессии с учетом преобразования Кохрана-Орката:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение
Свободный член	121,326	12,945	9,373	0,000
Доля предприятий	-0,522	0,163	-3,199	0,002
Доля работающих	-0,258	0,082	-3,155	0,002

Как видно из приведенных результатов, в данном случае построенная регрессия значима даже на 1% уровне (F = 21,104). Регрессионные коэффициенты значимы на 3% уровне.

Практическая часть.

- уравнение регрессии.