Графическое решение неравенств второй степени
Содержание 1) Основное понятие неравенства 2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную. 3) Графическое решение неравенств второй степени 4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными. 5) Решение рациональных неравенств методом интервалов 6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля Основное понятие неравенства Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида a 1 x 1+ a 2 x 2 +... + anxn * b, где a 1,..., an, b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, <, ≤. В матричной алгебре знак ≥ означает что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ≤ означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.) Классификация неравенств Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:[1] · алгебраические · трансцендентные Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.
Пример: Неравенство Неравенство
2. Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную
1) Если a>b, b<a; 2) Если a>b b>c a>c; 3) Если a>b a+c>b+c; 4) Если a+b>c a> c-b; 5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство; 6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство; 7) Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x); 8) Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают); 9) Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному; 10) Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x)<0 равносильным данному является неравенство противоположного знака. Неравенства с одной переменной. Пусть дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет. Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.
Графическое решение неравенств второй степени
1) Графиком квадратичной функции y = ах2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом возможны три случая: 2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2]. y = ах2 +bх + с a>0 D>0 y = ах2 +bх + с a <0 D >0,
Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах2 + х + с y = ах2 +bх + с a>0 D = 0 y = ах2 +bх + с a <0 D =0, 3) Если d<0 то график квадратного трехчлена f(x) = ах2 +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым. 4) y = ах2 +bх + с a>0 D < 0 y = ах2 +bх + с a <0 D< 0,
4) Решить неравенство графическим способом 1) 3х2 -4х 3х2-4х 1. Пусть f(x) = 3х2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) 2. Найдем нули функции. 3х2-4х-7=0, D=100, Х=-1 Х=7\3.
f(x) Ответ f(x) 2) х2 >-4x-5; x2 +4x +5>0; Пусть f(x)=х2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0, X2+4x+5=0, D=-4 Нет нулей.
Ответ
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|