Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Графическое решение неравенств второй степени

Содержание

1) Основное понятие неравенства

2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.

3) Графическое решение неравенств второй степени

4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

5) Решение рациональных неравенств методом интервалов

6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

Основное понятие неравенства

Неравенство [inequality] — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида

a ₁ x ₁+ a ₂ x ₂ +... + a_nx_n * b,

где a ₁,..., a_n, b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥, <, ≤.

В матричной алгебре знак ≥ означает что все элементы матрицы, расположенной слева, не меньше (а хотя бы часть из них больше) соответствующих элементов матрицы, расположенной справа. В отличие от этого знак ≤ означает, что все элементы левой матрицы не меньше соответствующих элементов правой матрицы; в частности, все соответствующие элементы могут быть попарно равны. (Иногда применяются и другие обозначения.)

Классификация неравенств

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:^[1]

· алгебраические

· трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Пример:

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную

1) Если a>b, b<a;

2) Если a>b b>c a>c;

3) Если a>b a+c>b+c;

4) Если a+b>c a> c-b;

5) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство;

6) Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же число и изменить знак на противоположный, то получится верное неравенство;

7) Множество всех х, при которых имеют смысл выражения f(x) и g(x), называется областью определения неравенства f(x) >g(x);

8) Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если они имеют общее множество решений (множество решений этих неравенств совпадают);

9) Если к обеим частям неравенства прибавить(или вычесть) любую функцию J(x). область определения которой содержит область определения неравенств, то получится новое неравенств, равносильное данному;

10) Если обе части неравенства f(x) >g(x) умножить (или разделить) на любую функцию J(x), определенную для всех значений переменной х из области определения данного неравенства, сохраняющую постоянный знак и отличную от нуля, то при J(x)>0 получится неравенство, равносильное данном, а при J(x)<0 равносильным данному является неравенство противоположного знака.

Неравенства с одной переменной. Пусть дано неравенство f(x) >g(x). Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с одной переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства с одной переменной. Решить неравенство с переменной - значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Графическое решение неравенств второй степени

1) Графиком квадратичной функции y = ах² +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0 (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а < 0). При этом возможны три случая:

2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а<0 то решением неравенства является множество [x1;x2].

y = ах² +bх + с a>0 D>0 y = ах² +bх + с a <0 D >0,

Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах² + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a<0 единственная точка х1, являющаяся единственным корнем квадратного трехчлена ах² + х + с

y = ах² +bх + с a>0 D = 0 y = ах² +bх + с a <0 D =0,

3) Если d<0 то график квадратного трехчлена f(x) = ах² +bх + с не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a>0 и ниже ее при a<0 В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором оно является пустым.

y = ах² +bх + с a>0 D < 0 y = ах² +bх + с a <0 D< 0,