Повторение испытании. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа.
Классическое определение вероятности Колмагорова Предположим, что мы имеем дело с пространством элементарных исходов, состоящим из конечного числа n элементов: Эти соображения чаще всего не имеют отношения к математической модели и основаны на какой-либо симметрии в эксперименте (симметричная монета, правильная кость). Либо мы можем заранее считать исходы экс-та равновозможными, но тогда рано или поздно возникнет вопрос о соответствии такой мат. модели реальному эксперименту. Если событие Определение. Говорят, что эксперимент удовлетворяет классическому определению вероятности (или классической вероятностной схеме), если пространство элементарных исходов состоит из конечного числа В этом случае вероятность любого события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу исходов. Геометрическая вероятность Классическое определение вероятности пригодно только для экспериментов с ограниченным числом равномерных элементарных событий.
Рассмотрим какую-нибудь непрерывную квадрируемую область
Определение. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области
«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объём. Если для точки, брошенной в область Замечание. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств Формула полной вероятности. Пусть событие А может наступить только при условии появления одного из несовместных событий Hi (гипотез), которые образуют полную группу. Тогда вероятность любого события А может быть вычислена по формуле:
События H1, H2,…, образующие полную группу событий, часто наз. гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P(A\Hi) (вероятность событию А произойти при выполнении Hi). Формула Байеса. Пусть H1, H2,…- полная группа событий и А- некоторое событие положительной вероятности. Тогда условная вероятность того, что имело место событие Hk, если в результате эксперимента наблюдалось событие А, может быть вычислена по формуле:
Формулы Байеса позволяют переоценивать вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Повторение испытании. Формула Бернулли. Формула Пуассона. Локальная и интегральная теоремы Муавра и Лапласа. Пусть проводится n испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания наз. независимыми относительно соб. А. Повторные независимые испытания наз. испытаниями Бернулли, если при каждом испытании имеются только два возможных исходов и вероятности этих исходов остаются неизменными для всех испытаний. Одному испытанию Бернулли соответствует множество элементарных исходов состоящее из 2-х элемен. событий.
множество элементарных исходов для n испытаний состоит из 2n элемент. исходов Формула Бернулли. Вероятность того, что при n испытаниях событие А произойдет ровно m раз. И Þ не произойдет n-m раз выражает формула Бернулли. Если число испытаний велико, а вероятность успеха мала, то вероятность m успехов в n испытаниях рассчитывается по формуле Пуассона. Th. Пуассона. Если при
Условие применения формулы Пуассона: При больших n пользуются локальной теоремой Муавра- Лапласа, которая дает асимптотическую формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события m раз из n испытаний, если число испытаний достаточно велико. Th. Если вероятность Р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность Pn(m) того, что событие А появится в n испытаниях ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:
Для вычисления функции Пусть проводится n испытании, в каждом из которых вероятность события А появиться в n испытаниях не менее m1 и не более m2 раз, существует интегральная теорема Муавра- Лапласа: если вероятность Р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность
если npq<20, то
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|