Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Методичні вказівки до лабораторної роботи

ЛАБОРАТОРНИХ РОБОТАХ № 2

ТЕМА: Система обчислення

Мета роботи: Вивчення правил переведення чисел з однієї позиційної системи числення в іншу.

Хід роботи:

1) Перевести число з десяткової системи числення в двійкову;

2) Перевести число з 16-ої системи числення в десяткову;

3) Перекласти змішане число з двійкової системи числення в десяткову;

4) Зробити висновок про виконану роботу.

Зміст звіту

1) Тема, мета, хід роботи;

2) Формулювання і опис індивідуального завдання;

3) Висновок.

Методичні вказівки до лабораторної роботи

Система числення – це спосіб найменування і зображення чисел за допомогою символів, що мають певні кількісні значення.

Залежно від способу зображення чисел системи числення діляться на: позиційні і непозиційні.

У позиційній системі числення кількісне значення кожної цифри залежить від її місця (позиції) в числі. У непозиційній системі числення цифри не змінюють свого кількісного значення при зміні їх розташування в числі. Кількість (Р) різних цифр, що використовуються для зображення числа в позиційній системі числення, називається підставою системи числення. Значення цифр лежать в межах від 0 до Р-1. У загальному випадку запис будь-якого змішаного числа в системі числення з основою Р буде являти собою ряд виду:

a_m-1P^m-1+ a_m-2P^m-2+…+ a₁P¹+ a₀P⁰+ a_-1P^-1+ a_-2P^-2+…+ a_-sP^-s, (1)

де нижні індекси визначають місце розташування цифри в числі (розряд):

- позитивні значення індексів - для цілої частини числа (т розрядів);

- негативні значення - для дробової (s розрядів).

Приклад 1. Позиційна система числення - арабська десяткова система, в якій: підстава P = 10, для зображення чисел використовуються 10 цифр (від 0 до 9). Непозиційної системи числення - римська, в якій для кожного числа використовується специфічне поєднання символів (XIV, СХХ VII і т.п.).

Максимальне ціле число, яке може бути представлене в т розрядах:

N_max = P^m-1

Мінімальна значуще (не рівне 0) число, яке можна записати в s розрядах дробової частини:

N_min = P^-s

Маючи в цілій частині числа m, а в дробової s розрядів, можна записати всього Р^т+s різних чисел.

Двійкова система числення має підставу Р = 2 і використовує для представлення інформації всього дві цифри: 0 і 1. Існують правила перекладу чисел з однієї системи числення в іншу, засновані у тому числі і на співвідношенні (1).

Приклад 2. 101110,101₂= 1•2⁵+0•2⁴+1•2³+1•2²+1•2¹+0•2⁰+1•2^-1+0•2^-2+1•2^-3= 46,625_10,тобто двійкове число 101110,101 одно десятковому числу 46,625.

В обчислювальних машинах застосовуються дві форми подання двійкових чисел:

- природна форма або форма з фіксованою комою (крапкою);

- нормальна форма або форма з плаваючою комою (крапкою).

З фіксованою комою всі числа зображуються у вигляді послідовності цифр з постійним для всіх чисел становищем коми, що відокремлює цілу частину від дроб ної.

Приклад 3. В десятковій системі числення є 5 розрядів в цілій частині числа (до коми) і 5 розрядів у дробовій частині числа (після коми); числа, записані в таку розрядну сітку, мають вигляд:

+00721,35500; +00000,003 28; -10301,20260.

Ця форма найбільш проста, природна, але має невеликий діапазон представлення чисел і тому не завжди прийнятна при обчисленнях.

Приклад 4. Діапазон значущих чисел (М) в системі числення з підставою Р при наявності т розрядів в цілій частині і s розрядів у дробовій частині числа (без урахування знака числа) буде:

P^-s£ N £ P^m- P^-s

При P=2, m=10 и s =6: 0,015 £ N£ 1024.

Якщо в результаті операції вийде число, що виходить за допустимий діапазон, відбувається переповнювання розрядної сітки, і подальші обчислення втрачають сенс. У сучасних ЕОМ природна форма представлення використовується як допоміжна і тільки для цілих чисел.

З плаваючою комою кожне число зображається у вигляді двох груп цифр. Перша група цифр називається мантиси, друга - порядком, причому абсолютна величина мантиси повинна бути менше 1, а порядок - цілим числом. У загальному вигляді число у формі з плаваючою комою може бути представлено так:

N=±МР^±r,

де М-мантиса числа (| М | <1);

r - порядок числа (r - ціле число);

Р - основа системи числення.

Приклад 5. Наведені в прикладі 4.3 числа в нормалізованої формі запишуться так:

+0.721355 * 10 3; +0,328 * 10 -2; -0,103012026 * 10 5.

Нормалізована форма подання має величезний діапазон відображення чисел і є основною в сучасних ЕОМ.

Приклад 6. Діапазон значущих чисел в системі числення з основою Р при наявності т розрядів у мантиси і s розрядів у порядку (без урахування знакових розрядів порядку і мантиси) буде:

P^-mP^-(Ps-1)£ N £ (1-P^-m)P^(Ps-1)

При Р = 2, m = 10 і s = 6 діапазон чисел тягнеться приблизно від 10 -19 до 10 19.

Знак числа зазвичай кодується двійковій цифрою, при цьому код 0 означає знак «+»; код 1 - знак «-».

Двійково-десяткова система числення набула великого поширення в сучасних ЕОМ зважаючи легкості перекладу в десяткову систему і назад. Вона використовується там, де основна увага приділяється не простоті технічного побудови машини, а зручності роботи користувача. У цій системі числення всі десяткові цифр окремо кодуються чотирма двійковими цифрами (див. табл. 1) і в такому вигляді записуються послідовно один за одним.

Таблиця 1 - Таблиця двійкових кодів десяткових і шістнадцяткових цифр

Цифра

Код

Приклад 7. Десяткове число 9703 в двійковій-десяткового системі виглядає так:

1001011100000011.

При програмуванні іноді використовується шістнадцяткова система числення, переклад чисел з якої в двійкову систему числення вельми простий - виконується поразрядно (повністю аналогічно перекладу з двійково-десяткової системи).

Для зображення цифр, великих 9, в шістнадцятковій системі числення застосовуються літери А = 10, В = 11, С-12, D = 13, Е = 14, F = 15.

Хід роботи

1.1.1 Перевести число а) з десяткової системи числення в двійкову. Для цього необхідно ділити вихідне число на 2 так, щоб виходили неповні приватні та залишки від ділення. Нове число складається із залишків поділу, які записуються у зворотному порядку, починаючи з останнього діленого.

Приклад:

Той же самий приклад можна записати в більш компактній формі:

1.1.2 Перевести число б) з шістнадцятковій системи числення в десяткову. Для цього потрібно представити число в розгорнутому вигляді, т. у вигляді сум добутків кожної цифри вихідного числа на основу нової системи числення у відповідній ступеня (ступінь залежить від позиції цифри в числі).

1СF₁₆= 1*16²+C*16¹+F*16⁰ = 256+192+15 = 463₁₀

1.1.3 Перекласти змішане число в) з двійкової системи числення в десяткову. Для цього потрібно використовувати той же алгоритм, що і в попередньому прикладі:

101110,01₂= 1•2⁵+0•2⁴+1•2³+1•2²+1•2¹+0•2⁰+0•2^-1+1•2^-2=

= 32+8+4+2+ =46,25₁₀

Переклад змішаного числа з десяткової системи числення у вісімкову виконується в два етапи: окремо переводиться ціла частина шляхом ділення її на 8, а потім переводиться дробова частина шляхом множення її на 8. При множенні у нас виходить змішане число. Ц ІФР а, котор ая сто і т перед комою, записується в дробову частину ново го числ а, а дробова частина знову множиться на 8. Множення проводиться до тих пір, поки дробова частина не стане дорівнює нулю, або не буде досягнута необхідна точність.

Приклад 8. Переведемо число 123,4 з точністю до п'яти знаків після коми, тому дріб виходить періодичною.

Рисунок 1 – Переведення змішаного числа 123,4 проводиться в два етапи:

а) ціла частина, б) дрібна частина

1.1.4 Переведення чисел д), е), і) виконуються аналогічно прикладу 2.

1.1.5 Перевести число ж) у вісімкову систему числення. Для перекладу двійкового числа в вісімкове можна скористатися правилом тріад, тобто розбити число на групи по три цифри починаючи з молодшої і замінити кожну групу відповідною цифрою з алфавіту вісімковій системи числення.

1.1.6 Перевести число з) у 16-у систему числення. Для перекладу двійкового числа в шістнадцяткове можна скористатися правилом тетрад, тобто розбити число на групи по чотири цифри починаючи з молодшої і замінити кожну групу відповідною цифрою з алфавіту шістнадцятковій системи числення.

1.1.7 Скласти двійкові числа ж) і з) поразрядно (стовпчиком), використовуючи правила двійкової арифметики:

0 +0 = 0;

0 +1 = 1;

1 +0 = 1;

1 +1 = 10.

Таблиця 2 – Варіанти індивідуальних завдань

Варіанти індивідуальних завдань
1 варіант	а) 56₁₀=Х₂	г) 51,11₁₀=Х₈	ж) 1010110111₂=Х₈
б) 23С₁₆=Х₁₀	д) 174,7₈=Х₁₀	з) 1010110111₂=Х₁₆
в) 110101,11₂=Х₁₀	е) 23,2₆=Х₁₀	і) 2А,4₁₆=Х₁₀
2 варіант	а) 46₁₀=Х₂	г) 57,12₁₀=Х₈	ж) 1100110011₂=Х₈
б) 24С₁₆=Х₁₀	д) 164,6₈=Х₁₀	з) 1100110011₂=Х₁₆
в) 101001,01₂=Х₁₀	е) 33,2₆=Х₁₀	і) 2В,5₁₆=Х₁₀
3 варіант	а) 36₁₀=Х₂	г) 58,13₁₀=Х₈	ж) 1101101011₂=Х₈
б) 25С₁₆=Х₁₀	д) 154,5₈=Х₁₀	з) 1101101011₂=Х₁₆
в) 110001,11₂=Х₁₀	е) 43,4₆=Х₁₀	і) 2С,5₁₆=Х₁₀
4 варіант	а) 26₁₀=Х₂	г) 59,14₁₀=Х₈	ж) 1000101010₂=Х₈
б) 26С₁₆=Х₁₀	д) 144,4₈=Х₁₀	з) 1000101010₂=Х₁₆
в) 110110,01₂=Х₁₀	е) 53,5₆=Х₁₀	і) 3А,6₁₆=Х₁₀
5 варіант	а) 76₁₀=Х₂	г) 60,15₁₀=Х₈	ж) 11111010101₂=Х₈
б) 27С₁₆=Х₁₀	д) 134,3₈=Х₁₀	з) 11111010101₂=Х₁₆
в) 100001,11₂=Х₁₀	е) 13,4₆=Х₁₀	і) 2Е,7₁₆=Х₁₀
6 варіант	а) 86₁₀=Х₂	г) 61,16₁₀=Х₈	ж) 10111110101₂=Х₈
б) 28С₁₆=Х₁₀	д) 124,2₈=Х₁₀	з) 10111110101₂=Х₁₆
в) 110001,01₂=Х₁₀	е) 13,5₆=Х₁₀	і) 2Е,А₁₆=Х₁₀
7 варіант	а) 96₁₀=Х₂	г) 62,17₁₀=Х₈	ж) 10101100101₂=Х₈
б) 29С₁₆=Х₁₀	д) 114,1₈=Х₁₀	з) 10101100101₂=Х₁₆
в) 101110,11₂=Х₁₀	е) 24,5₆=Х₁₀	і) АА,Е₁₆=Х₁₀
8 варіант	а) 53₁₀=Х₂	г) 63,18₁₀=Х₈	ж) 11011011010₂=Х₈
б) 2АС₁₆=Х₁₀	д) 104,7₈=Х₁₀	з) 11011011010₂=Х₁₆
в) 100011,01₂=Х₁₀	е) 20,2₆=Х₁₀	і) 9Е,9₁₆=Х₁₀
9 варіант	а) 33₁₀=Х₂	г) 64,19₁₀=Х₈	ж) 10110001111₂=Х₈
б) 2ВС₁₆=Х₁₀	д) 274,6₈=Х₁₀	з) 10110001111₂=Х₁₆
в) 101000,11₂=Х₁₀	е) 20,1₆=Х₁₀	і) 4С,8₁₆=Х₁₀
10 варіант	а) 32₁₀=Х₂	г) 65,21₁₀=Х₈	ж) 10000101110₂=Х₈
б) 13С₁₆=Х₁₀	д) 374,5₈=Х₁₀	з) 10000101110₂=Х₁₆
в) 101100,01₂=Х₁₀	е) 55,2₆=Х₁₀	і) 7D,D₁₆=Х₁₀
11 варіант	а) 31₁₀=Х₂	г) 66,22₁₀=Х₈	ж) 10111111100₂=Х₈
б) 33С₁₆=Х₁₀	д) 175,4₈=Х₁₀	з) 10111111100₂=Х₁₆
в) 110110,11₂=Х₁₀	е) 50,4₆=Х₁₀	і) EE,E₁₆=Х₁₀
12 варіант	а) 44₁₀=Х₂	г) 67,12₁₀=Х₈	ж) 11110000110₂=Х₈
б) 43С₁₆=Х₁₀	д) 176,3₈=Х₁₀	з) 11110000110₂=Х₁₆
в) 110111,01₂=Х₁₀	е) 24,3₆=Х₁₀	і) FF,F₁₆=Х₁₀
13 варіант	а) 74₁₀=Х₂	г) 68,13₁₀=Х₈	ж) 11001000001₂=Х₈
б) 53С₁₆=Х₁₀	д) 177,2₈=Х₁₀	з) 11001000001₂=Х₁₆
в) 110100,11₂=Х₁₀	е) 42,3₆=Х₁₀	і) 5F,3₁₆=Х₁₀
14 варіант	а) 81₁₀=Х₂	г) 69,24₁₀=Х₈	ж) 10101110010₂=Х₈
б) 63С₁₆=Х₁₀	д) 100,6₈=Х₁₀	з) 10101110010₂=Х₁₆
в) 100101,01₂=Х₁₀	е) 32,5₆=Х₁₀	і) 20,D₁₆=Х₁₀
15 варіант	а) 63₁₀=Х₂	г) 70,25₁₀=Х₈	ж) 11101110110₂=Х₈
б) 73С₁₆=Х₁₀	д) 170,3₈=Х₁₀	з) 11101110110₂=Х₁₆
в) 111101,11₂=Х₁₀	е) 44,5₆=Х₁₀	і) 1F,6₁₆=Х₁₀

Контрольні запитання

1) У чому полягає відмінність позиційних систем числення від непозиційних?

2) Які форми подання двійкових чисел застосовуються в обчислювальних машинах?

3) Який вигляд мають числа з плаваючою комою?