Особенности анализа дискретных систем

Методы практической оценки САУ

2.1.3. Частотный критерий устойчивости

Наиболее широкое практическое применение для исследования устойчивости систем с обратной связью получил критерий, основанный на рассмотрении частотных характеристик разомкнутых САУ. Этот критерий был предложен в 1932 г. американским ученым Найквистом для расчетов усилителей с обратной связью и носит его имя. Впервые в теорию автоматического управления он был введен советским ученым А.В.Михайловым в 1936 г.

Основные достоинства частотного критерия, обусловившие его широкое распространение:

1. Критерий применим в тех случаях, когда дифференциальные уравнения системы или отдельных ее звеньев неизвестны, но известны частотные характеристики, полученные, например, экспериментально.

2. Использование критерия не так резко усложняется при увеличении порядка характеристического уравнения, как это имеет место при применении алгебраического критерия.

3. Критерий Найквиста еще в большей степени, чем критерий Гурвица, позволяет непосредственно установить влияние на устойчивость системы различных ее звеньев.

4. Критерий дает представление о степени устойчивости системы и показывает возможные пути ее улучшения, если в этом есть необходимость.

5. Критерий позволяет связать исследование устойчивости с последующим анализом качества как в установившемся, так и в переходном режимах.

Частотный критерий Найквиста связывает устойчивость замкнутой САУ с ходом АФХ разомкнутой системы.АФХ изображается на комплексной плоскости. Для этого комплексная функция K (jw) представляется в виде ее действительной и мнимой частей.

K(jw) = ReK(jw) + jI mK(jw).

Значения ReK(jw) и ImK(jw) откладываются вдоль координатных осей и функция K(jw) изображается в виде вектора. При изменении w от 0 до конец вектора описывает на плоскости

некоторую кривую (годограф), которая и является АФХ

Алгебраический критерий устойчивости

Для определения устойчивости необходимо составить характеристическое уравнение D(p) и найти его корни. Составить его можно, воспользовавшись передаточной функцией САУ.

Для устойчивости линейной стационарной системы автоматического управления необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательными. Если, корни расположить на комплексной плоскости (рис.44), то геометрическая интерпретация необходимых и достаточных условий устойчивости будет следующей: система устойчива, когда все корни характеристического уравнения располагаются в левой полуплоскости комплексной плоскости корней.

Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система неустойчива. Если корни располагаются на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости и переходной процесс будет иметь постоянную амплитуду.

Общий вид характеристического уравнения

D(p) = C0 + C1(p) + … + CnPn,

где C0, C1 … Cn – коэффициенты, Pi – корни характеристического уравнения.

Например: Pi = a i, Pk = a k + jw k, Pk+1 = a k - jw k.

Полином D(p) является знаменателем передаточной функции.

Непосредственное нахождение корней характеристического уравнения доступно лишь для уравнений первого и второго порядка. При n > 2 решение или громоздко, или вообще в аналитической форме невозможно. В связи с этим возникает задача суждения об устойчивости косвенными методами, позволяющими оценить расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости без непосредственного их определения. Решают ее с помощью определенных правил, называемых критериями устойчивости.

Рассмотрим вариант алгебраического критерия устойчивости, доказанного немецким ученым Гурвицем в 1895 году.

Система будем устойчивой, если все коэффициенты C > 0 и одновременно выполняются неравенства, зависящие от коэффициентов C и порядка системы n. Для систем первого и второго порядков условия устойчивости соответствуют положительным значениям коэффициентов. При n > 4 выражение для условий устойчивости становится громоздким.

Необходимо определить, при каком соотношении параметров системы

K, T1, T2 и T3 замкнутая система будет устойчивой. Для решения этой задачи запишем характеристическое уравнение замкнутой системы.

D(p) = P(p) + Q(p) = K + p (1+KT2) + p2 (T1+T2) + p3T3T1 = 0.

Для n = 3 получаем следующие условия устойчивости:

(T3 +T1) (1 +KT2) - KT1T3 > 0 или K[T1T3 – T2 (T1+T3)] < T1 + T3.

Если в полученных выражениях знак неравенства заменить, то можно построить линию границы устойчивостив плоскости параметров системы.

Приведенный пример иллюстрирует одно из достоинств критерия Гурвица – возможность в аналитической форме связать условия устойчивости с параметрами системы и, следовательно, построить области устойчивости в плоскости этих параметров. К сожалению, подобная задача сравнительно легко решается при малых порядках характеристического уравнения. Кроме того, критерий не позволяет оценить местоположение корней на комплексной плоскости, что имеет большое значение для определения свойств системы. И наконец, критерием нельзя воспользоваться, когда нет аналитического выражения для характеристического уравнения, что делает невозможным непосредственное применение экспериментальных данных.

Особенности анализа дискретных систем

В дискретных системах осуществляется преобразование информации, заданной в виде дискретных процессов, квантованных по времени или по времени и уровню одновременно. Введем специальные обозначения для этих процессов. Исходные непрерывные процессы, из которых получаются дискретные, называются огибающими и обозначаются обычными символами, например x(t).

Соответствующие им дискретные процессы с квантованием по времени (рис. 1.2, а) и постоянным периодом Tn, обозначают через x(iTn), имея в виду, что i может быть любым целым числом. Чтобы получить дискретный процесс, квантованный по времени, по заданной огибающей достаточно в функции x(t) положить значение t = iTn, то есть

x(iTn) = x(t = iTn).

Дискретный процесс, квантованный по времени с постоянным периодом Tn и по уровню с постоянным шагом Δ, будем обозначать символом х(iTn) (рис. 1.2, б). Получить его по заданной функции огибающей можно по формуле

где F обозначает операцию нахождения ближайшего к значению х(iТn) числа с шагом квантования по уровню Δ. Операция F является нелинейной, поэтому цифровые системы с квантованием процессов по времени и уровню относятся к классу нелинейных. Их особенности мы будем рассматривать отдельно в дальнейшем, а сейчас остановимся на линейных дискретных системах с процессами х(iТn), квантованными по времени.

Работа дискретной системы сводится к преобразованию входных процессов x(iTn) в выходные у(iТn) с некоторыми заданными условиями. Схематически это отображено на рис. 1.3. По характеру желаемого преобразования дискретные системы подразделяются на те же классы, что и непрерывные, то есть на следящие, стабилизирующие, интегрирующие и др., однако возможности преобразования процессов в них имеют свои характерные особенности, которые мы и рассмотрим. Главной особенностью дискретных процессов x(iTn) является их неоднозначность. Заключается она в том, что одним и тем же дискретным процессам может соответствовать множество различных огибающих. Для примера на рис. 1.4 показаны две функции x1(t) и x2(t), которым соответствует один и тот же процесс х(iТn). Неоднозначность дискретных функций, в частности выходного процесса у(iТn) системы (рис. 1.3), может привести к неправильным выводам по результатам работы системы, поэтому предварительно должны быть изучены те условия, при которых возникающая неоднозначность была бы сведена к минимуму. Возникновение неоднозначности является следствием потери информации на интервалах между моментами квантования. Рассмотрим подробнее, как это происходит. Пусть квантованию с периодом Tn и частотойΩ = 2π/Tn

подвергается гармонический процесс х(t) = a cos ωt.

Найдем зависимость между частотой исходного процесса и частотой огибающей ω0 квантованного процесса х(iTn). Первоначально положим, что частота ω << Ω. Квантованный сигнал для этого случая показан на рис. 1.5, а. Так как в полупериод исходного процесса x(t) укладывается большое число дискретных значений x(iTn), то по ним наблюдателю легко получить значение частоты огибающей, которая будет совпадать с частотой исходного процесса. Таким образом, при малой частоте неоднозначности в ее оценке по дискретным данным не будет. Если построить зависимость ω0 от ω (рис. 1.6), то при ω << Ω она будет линейной.

Предельным случаем для правильной оценки частоты ω будет тот, когда на каждом полупериоде окажется одно значение x(iTn). Этот случай изображен на рис. 1.5, б, и он соответствует частотеω = Ω/2

При ω > на каждый полупериод будет приходиться меньше одного значения x(iTn), что приведет к неоднозначности в определении ω. Так, если взять ω = Ω, то частота огибающей выходного процесса, как это видно из рис. 1.5, в, будет равна ω0 = 0, это и показано на рис. 1.6.

При ω = 3Ω/2 (рис. 1.5, г) мы получим дискретный процесс, совпадающий с x(iTn) при ω = (рис. 1.5, б). Подобные рассуждения можно продолжить и показать, что оценка частоты ω исходного процесса по частоте огибающей ω0 дискретного процесса будет неоднозначной. График этой зависимости изображен на рис. 1.6. Однозначность сохраняется лишь в диапазоне0 < ω < Ω/2

Описанное свойство называется стробоскопическим эффектом и является важнейшей особенностью дискретных систем. Из него следует важный для практики создания дискретных систем вывод: чтобы дискретная система была работоспособной и ее выходные данные имели однозначную интерпретацию, частоту квантования следует выбирать из условия Ω > 2ωгр, где ωгр - максимальная частота спектра входного сообщения. Впервые это условие в более широкой постановке в виде теоремы было получено в 1933 году академиком В. А. Котельниковым. Теорема Котельникова устанавливает минимальное допустимое значение частоты квантования Ω или максимальный период дискретности Tn, обеспечивающие преобразование информации без больших потерь при квантовании по времени.

 

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: