Метод измерения и описание аппаратуры

В работе определяется момент инерции махового колеса К, ось симметрии которого параллельна поверхности земли. Колесо находится в состоянии безразличного равновесия, но после крепления к нему добавочного груза Г (рис. 6.2), колесо может колебаться относительно горизонтальной оси.

 

Ось Маховое колесо К

Добавочный

груз Г

 

 

Рис. 6.2

 

Если пренебречь силами трения в подшипниках системы, то при малой амплитуде j₀ колебаний (j₀ < 5 ¸ 8°, при этом sinj₀» tgj₀» j₀) они ока-

 

жутся гармоническими, то есть угол j отклонения системы от положения равновесия будет со временем t меняться по следующему закону:

 

j = j₀cos . (2)

 

Здесь T - период колебаний системы, величина которого, как будет показано ни­же, зависит от её момента инерции.

Маховое колесо начинает совершать колебания за счет сообщенной ему извне энергии. Добавочный груз Г, поднятый на высоту h относительно положения равновесия, обладает потенциальной энергией mgh (рис. 6.3).

 

О О¢ О¢

Маховое колесо К

 

R j₀

h

Добавочный груз Г

r

Рис. 6.3

 

При прохождении системой (К и Г) положения равновесия потенциальная энер­гия груза Г преобразуется в кинетическую энергию вращательного движения махового колеса К и добавочного груза Г. Таким образом,

mgh = , (3)

где I_общ - сумма моментов инерции махового колеса I и до­бавочного груза I_Г относительно горизонтальной оси О, про­ходящий через центр махового колеса вдоль стержня:

I_общ = I + I_Г; (4)

 

т - масса добавочного груза;

g - ускорение силы тяжести;

h - высота, на которую поднимается груз;

w_макс - угловая скорость махового колеса с грузом при прохождении системой положе­ния равновесия.

Как следует из формул (3) и (4), для нахождения момента инерции махового колеса I нужно знать w_макс, т, h и I_Г. Угловая скорость w_макс определяется из уравнения (2) после установления характера зависимости w от t:

 

w = = - j₀ sin . (5)

Из этого уравнения следует, что максимальное значение угловой скорости в момент прохождения системой положения равновесия равно (по модулю):

w_макс = j₀ . (6)

Высоту h поднятия центра инерции добавочного груза (см. рис. 6.3) можно выразить так:

 

= cosj₀,

 

где R и r - радиусы махового колеса и добавочного груза соответственно.

Следовательно,

 

h =(R + r)(1 - cosj₀). (7)

 

Подставляя в уравнение (3) найденные выражения для h и w_макс, получаем:

 

mg (R + r)(1 - cosj₀)= . (8)

 

Величина j₀ неудобна для непосредственного измерения, поэтому исключим ее из уравнения (8). При малых углах, выраженных в радианной мере

 

cosj₀ = 1 - . (9)

Подставив это значение косинуса в левую часть уравне­ния (8), получим формулу для расчета I_общ относительно оси О:

 

I_общ = . (10)

 

Момент инерции добавочного груза I_Г находим по теоре­ме Штейнера. В лабораторной установке добавочный груз выполнен в виде диска из однородного материала и укреплен так, что его геометрическая ось параллельна оси симметрии махового колеса. Момент инерции добавочного груза Г относительно оси О (см. рис. 6.3) равен

 

I_Г = mr² + m (R+r) ². (11)

 

Первый член правой части равенства - момент инерции груза относительно

 

оси О', проходящей через его центр масс параллельно оси О. Второе слагаемое - это произведение массы диска на квадрат расстояния между осями О и О'.

Из выражений (10) и (11) получаем, что момент инерции махового колеса

I = I_общ - I_Г = - . (12)

 

Таким образом, определение момента инерции махового колеса в данной работе удалось свести к измерению массы добавочного груза т, радиусов махового коле­са R и добавочного груза r, а также - периода колебаний махового колеса Т.

Для того, чтобы подтвердить утверждение о высокой точности данного метода измерения мо­мента инерции, предлагается сравнить полученное значение I с теоретическим(I_Т), которое для махового колеса – однородного диска можно вычислить по формуле:

I_Т = m₀ R², (13)

 

где m₀ - масса махового колеса.

Учитывая, что маховое колесо и добавочный груз - дис­ки одинаковой толщины, изготовленные из одного и того же материала (заметим, что для самого метода измерения мо­мента инерции эти факторы несущественны), можно полу­чить равенство m₀ /m = R ² /r².

Таким образом, массы дисков относятся, как их объемы или (при одинаковой толщине) - как квадраты их радиусов. Выразив из последнего уравнения массу m₀ и подставив её в формулу (13), получим

I_Т = mR⁴/r². (14)

В настоящей работе непосредственно измеряются диамет­ры махового колеса D и добавочного груза d, а также - вре­мя t десяти полных колебаний. Масса груза m и ускорение свободного падения считаются заданными с извест­ной степенью точности. Используя эти обозначения, оконча­тельно запишем:

I = - , (15)

I_Т = mD⁴ / d². (16)

Порядок выполнения работы

 

Часть 1. Проведение измерений

1. Ознакомьтесь с измерительными приборами, используе­мыми в данной работе: штангенциркулем и секундомером. Определите значения приборной погрешности штангенциркуля (D x) и секундомера (D t); результаты запишите в таблицу 1.

2. Ознакомьтесь с установкой, на которой будете выпол­нять лабораторную работу. Значение массы добавочного гру­за m запишите в таблицу 1.

 

Таблица 1

 

Приборные погрешности	Масса добавочного груза m, кг
штангенциркуля D x, м	секундомера D t, с

 

Измерьте штангенциркулем диаметры махового колеса и добавочного груза с точностью, которую обеспечивает штан­генциркуль. Результаты измерений занесите в таблицу 2.

Таблица 2

Номер измерения						Средние значения
Диаметр махового колеса D, м						Dср =
Диаметр добавочного груза d, м						dср =
Время десяти полных колебаний t, с						tср =
Период колебаний T, с						Tср =
Момент инерции махового колеса I, кг×м2						Iср = IТ =

 

4. Отклонив колесо с добавочным грузом на малый угол, удовлетворяющий соотношению (9), отсчитайте время t десяти полных колебаний. Результаты измерений занесите в таблицу 2.

 

5. Повторите измерения по пп. 3 - 4 пять раз. Результа­ты измерений занесите в таблицу 2.

Часть 2. Обработка результатов измерений

Внимание! При проведении вычислений по пунктам 6 - 8 сохраняйте несколько значащих цифр после запятой. Округ­ление итогового выражения для момента инерции махового колеса проводится только после вычисления ошибки измере­ний (см. пункт 9).

6. Вычислите значения периода колебаний махового ко­леса для всех пяти случаев.

7. Вычислите средние значения диаметров и махового ко­леса D_cp и d_ср добавочного груза, периода колебаний Т_ср, а затем, используя эти данные и формулу (15), рассчитайте, чему равно среднее значение момента инерции махового колеса I_ср. В вычислениях принять g = 9,81 м/с².

8. Используя полученные значения D_cp и d_ср, а такжезначение массы добавочного груза m, по формуле (16)рассчитайте теоретическое значение момента инерции махового колеса I_Т.

Результаты расчетов по пп. 6 - 8 занесите в таблицу 2.

9. Поскольку в эксперименте непосредственно измеряются лишь D, d и t, а величина момента инерции определяется кос­венным образом из расчетов по формуле (15), для вычисле­ния ошибки измерения I необходимо пользоваться формулами для расчета ошибок косвенных измерений. Окончательный результат должен быть записан в виде

 

I = I_cp ± D I, (17)

 

где D I - абсолютная ошибка измерения момента инерции ма­хового колеса.

В данной работе основную роль в возникновении ошибки определения момента инерции играет случайная ошибка из­мерения периода колебаний; случайными же погрешностями измерения диаметров махового колеса и добавочного груза, а также - приборными ошибками штангенциркуля и секундо­мера можно пренебречь. В этом случае ошибка измерения момента инерции махового колеса вычисляется, как средне­квадратичная ошибка:

 

(D I) ² = + + » . (18)

 

(Подробнее о методах расчета ошибок измерения физиче­ских величин см. методические указания [3] из списка ре­комендуемой литературы).

Используя формулу (15), получим, что

D I» = D T. (19)

 

Таким образом, вычисление D I в данной работе сводится к определению случайной ошибки измерения периода коле­баний D T:

 

D T = a , (20)

 

где a -коэффициент Стьюдента, значения которого можно найти в таблице, имеющейся в лаборатории (таблица приведена также в методических указаниях [3]). Величину доверительной вероятности при вы­боре коэффициента Стьюдента по этой таблице примите рав­ной 0,95.

10. Результат вычислений D I округлите до первой знача­щей цифры, после чего округлите полученные ранее (см. таб­лицу 2) значения I_ср и I_Т до того же разряда, что и D I.

Запишите окончательный численный результат в виде

I = I_cp ± D I, (21)

I_Т = ……

 

Обратите внимание на правильность записи единиц изме­рения, в которых выражены полученные значения момента инерции махового колеса.

 

 

Контрольные вопросы

1. Какое свойство тела выражает момент инерции и как он вычисляется для материальной точки и системы матери­альных точек? В каких единицах он измеряется в СИ?

2. Сформулируйте теорему Штейнера. Как она исполь­зуется в данной работе?

3. Объясните, из каких соображений в данной работе выбирается число значащих цифр после запятой при округлении результатов вычислений.

5. В чём заключается физический принцип определения момента инерции методом колебаний?

4. Выведите формулы (12) и (14); укажите возможные причины неко­торого несовпадения величин моментов инерции, определен­ных по этим формулам.

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

 

1. Савельев И. В. Курс общей физики: В 3-х т. – М.: Наука, 1987. – Т. 1, 432 с.

2. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Курс физики. – М.: Высш. шк., 1989.

3. Расчет погрешностей в лабораторных работах физического практикума. Методические указания к вводным занятиям в физическом практикуме/ Н.А. Гринчар, Ф.П. Денисов, Б.А. Курбатов и др.; Под общ. ред. Ф.П. Денисова. - М.: МИИТ, 1995. - 38 с.

 

РАБОТА №61

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: