Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами.
Решение дифференциального уравнения вида Т.к.
При этом многочлен Для того, чтобы функция
Т.к. ekx ¹ 0, то
Как и любое алгебраическое уравнение степени n, характеристическое уравнение
В зависимости от коэффициентов k характеристическое уравнение может иметь либо n различных действительных корней, либо среди действительных корней могут быть кратные корни, могут быть комплексно – сопряженные корни, как различные, так и кратные. Не будем подробно рассматривать каждый случай, а сформулируем общее правило нахождения решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
1) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни. 2) Находим частные решения дифференциального уравнения, причем: a) каждому действительному корню соответствует решение ekx; б) каждому действительному корню кратности m ставится в соответствие m решений: в) каждой паре комплексно – сопряженных корней
г) каждой паре m – кратных комплексно – сопряженных корней 3) Составляем линейную комбинацию найденных решений.
Эта линейная комбинация и будет являться общим решением исходного линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Пример. Решить уравнение
Составим характеристическое уравнение: Общее решение имеет вид:
Пример. Решить уравнение
Это линейное однородное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами второго порядка. Для нахождения общего решения необходимо отыскать какое - либо частное решение. Таким частным решением будет являться функция
Исходное дифференциальное уравнение можно преобразовать:
Общее решение имеет вид: Окончательно:
Пример. Решить уравнение
Составим характеристическое уравнение:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение: Общее решение:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение:
Общее решение:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение: Общее решение:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение: Общее решение:
Пример. Решить уравнение
Характеристическое уравнение: Общее решение:
Пример. Решить уравнение
Это уравнение не является линейным, следовательно, приведенный выше метод решения к нему неприменим. Понизим порядок уравнения с помощью подстановки Тогда Окончательно получаем:
Это выражение будет общим решением исходного дифференциального уравнения. Полученное выше решение у1 = С1 получается из общего решения при С = 0.
Пример. Решить уравнение
Производим замену переменной: Общее решение:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|