 |
Ряд распределения или вариационный ряд и его характеристики.
|
|
|
|
Ряд распределения или вариационный ряд – упорядоченное распределение единиц совокупности по возрастающим или по убывающим значениям признака и подсчет единиц с тем или иным значением признака. Построение рядов распределения (структурной группировки) является первым этапом изучения вариации и осуществляется с целью выделения характерных свойств и закономерностей изучаемой совокупности. В зависимости от того, какой признак (количественный или качественный) взят за основу группировки данных, различают типы рядов распределения.
Если за основу группировки взят качественный признак, то такой ряд распределения называют атрибутивным (распределение по видам труда, по полу, по профессии, по религиозному признаку, национальной принадлежности и т.д.).
Если ряд распределения построен по количественному признаку, то такой ряд называют вариационным. Построить вариационный ряд - значит упорядочить количественное распределение единиц совокупности по значениям признака, а затем подсчитать числа единиц совокупности с этими значениями (построить групповую таблицу).
Выделяют три формы вариационного ряда: ранжированный ряд, дискретный ряд и интервальный ряд.
Ранжированный ряд - это распределение отдельных единиц совокупности в порядке возрастания или убывания исследуемого признака.
Другие формы вариационного ряда - групповые таблицы, составленные по характеру вариации значений изучаемого признака. По характеру вариации различают дискретные (прерывные) и непрерывные признаки.
Дискретный ряд - это такой вариационный ряд, в основу построения которого положены признаки с прерывным изменением (дискретные признаки). К последним можно отнести тарифный разряд, количество детей в семье, число работников на предприятии и т.д. Эти признаки могут принимать только конечное число определенных значений.
|
|
|
Если признак имеет непрерывное изменение (размер дохода, стаж работы, стоимость основных фондов предприятия и т.д., которые в определенных границах могут принимать любые значения), то для этого признака нужно строить интервальный вариационный ряд.
Величина интервала определяется по формуле 
, где
xmax , min - максимальное и минимальное значение признака, к – число групп.
Частота (частота повторения) - число повторений отдельного варианта значений признака, обозначается fi, а сумма частот, равная объему исследуемой совокупности, обозначается 
, где к – число вариантов значения признака.
Частоты ряда f могут заменяться частостями w, выраженными в относительных числах (долях или процентах). Они представляют собой отношения частот каждого интервала к их общей сумме, т.е.: 
, при этом 
Основной целью анализа вариационных рядов является выявление закономерности распределения, исключая при этом влияние случайных для данного распределения факторов. Этого можно достичь, если увеличивать объем исследуемой совокупности и одновременно уменьшать интервал ряда.
В практике статистических исследований наиболее часто используются следующие закономерности распределения: нормальное распределение и распределение Пуассона.
Нормальное распределение зависит от двух параметров: средней арифметической и среднего квадратического отклонения. Его кривая выражается уравнением 
где у - ордината кривой нормального распределения; 
- стандартизованные отклонения; е и π - математические постоянные; x - варианты вариационного ряда; 
- их средняя величина; 
- cреднее квадратическое отклонение.
Теоретические частоты при нормальном распределении определяются по формуле: 
, где N = Sf – сумма всех эмпирических частот вариационного ряда; h – величина интервала в группах.
|
|
|
При помощи этой формулы мы получаем теоретическое (вероятностное) распределение, заменяя им эмпирическое (фактическое) распределение, по характеру они не должны отличаться друг от друга.
Если вариационный ряд представляет собой распределение по дискретному признаку, где при увеличении значений признака х частоты начинают резко уменьшаться, а средняя арифметическая, в свою очередь, равна или близка по значению к дисперсии (
), такой ряд выравнивается по кривой Пуассона.
Кривую Пуассона можно выразить отношением 
, где Px - вероятность наступления отдельных значений х; 
- средняя арифметическая ряда.
Теоретические частоты при распределении Пуассона определяют по формуле: f ’ = N Px, где N – общее число единиц ряда.
Для расчета обобщающих показателей и для графического изображения вариационных рядов с неравными интервалами используют плотность распределения, которая определяется по формулам:
,
где 
- абсолютная плотность распределения в j-м интервале, 
- относительная плотность распределения в j-м интервале; ij – величина интервала.
Объективная характеристика соответствия теоретических и эмпирических частот может быть получена при помощи специальных статистических показателей, которые называют критериями согласия.
Асимметрия распределения определяется на основе расчета коэффициента асимметрии, котрый является мерой несимметричности распределения. Если этот коэффициент отчетливо отличается от 0, распределение является асимметричным. Плотность нормального распределения симметрична относительно среднего.
Для оценки близости эмпирических и теоретических частот применяются критерий согласия Пирсона, критерий согласия Романовского, критерий согласия Колмогорова.
Наиболее распространенным является критерий согласия К. Пирсона, который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между f' и f к теоретическим частотам: 
.
Вычисленное значение критерия c2расч необходимо сравнить с табличным (критическим) значением c2табл. Табличное значение определяется по специальной таблице, оно зависит от принятой вероятности Р и числа степеней свободы k (при этом k = m - 3, где m - число групп в ряду распределения для нормального распределения). При расчете критерия согласия Пирсона должно соблюдаться следующее условие: достаточно большим должно быть число наблюдений (n ³ 50), при этом если в некоторых интервалах теоретические частоты меньше 5, то интервалы объединяют для условия больше 5.
|
|
|
Если c2расч £ c2табл, то расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами распределения могут быть случайными и предположение о близости эмпирического распределения к нормальному не может быть отвергнуто.
В том случае, если отсутствуют таблицы для оценки случайности расхождения теоретических и эмпирических частот, можно использовать критерий согласия В.И. Романовского (КРом), который, используя величину c2, предложил оценивать близость эмпирического распределения кривой нормального распределения при помощи отношения: 
, где m - число групп; k = (m - 3) - число степеней свободы при исчислении частот нормального распределения.
Если вышеуказанное отношение < 3, то расхождения эмпирических и теоретических частот можно считать случайными, а эмпирическое распределение - соответствующим нормальному. Если отношение > 3, то расхождения могут быть достаточно существенными и гипотезу о нормальном распределении следует отвергнуть.
Критерий согласия А.Н. Колмогорова используется при определении максимального расхождения между частотами эмпирического и теоретического распределения, вычисляется по формуле: 
, где D - максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами; Sf - сумма эмпирических частот.
По таблицам значений вероятностей l-критерия можно найти величину l, соответствующую вероятности Р. Если величина вероятности Р значительна по отношению к найденной величине, то можно предположить, что расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями несущественны.
Необходимым условием при использовании критерия согласия Колмогорова является достаточно большое число наблюдений (не меньше ста).
|
|
|
При анализе вариационного ряда и его свойств используют графические методы. Интервальный ряд изображаю столбиковой диаграммой или гистограммой, в которой основания столбиков, расположенные на оси – абсцисс – это интервалы значений варьирующего признака, а высоты столбиков – частоты.
Если имеется дискретный вариационный ряд или используются середины интервалов, то графическое изображение такого ряда называют полигоном.Преобразованной формой вариационного ряда является ряд накопленных частот. Это ряд значений числа единиц совокупности с меньшими или равными нижней границе соответствующего интервала значениями признака. Такой ряд называют кумулятивным. Можно построить кумулятивное распределение «не меньше, чем» – кумулята, и «больше, чем» – огива.
РАЗДЕЛ II: ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Задание №6.
Написать формулу и охарактеризовать основные особенности средней гармоничной не взвешенной.Определить среднюю скорость автомобиля, если его скорость на подъёме (на гору) составляла-30 км/ч, на спуске (с горы)-60 км/ч.
Решение
Решаем задачу по основной формуле средней простой гармонической:
Х гр. прост. = S Z i, где S Z i -Общий путь; S f j – Общее время.
S f j
По условию задачи общий путь равен 60 км/ч +60 км/ч =120 км/ч.Подставляем в формулу: Хгр.прост.= 60км+60км = 120 км =40 км/ч.
6 0 + 60 3 ч.
30 60
Ответ: Средняя скорость автомобиля равна - 40 км/ч.
Задание №12
Определить: Средний месячный доход персонала фирмы (грн).Размер вариации в доходах: Среднее линейное и среднее квадратическое отклонение.
Данные: Персонал получил за месяц доход:500 грн-10 чел,400 -35 чел,200 грн -55 чел. Прокомментировать полученные результаты.
Решение:
Решаем задачу по формуле средней арифметической взвешенной:
Х = S х * f. Х=500 *10+400*35+200*55 = 50000+14000+11000 = 75000 =750 грн.
S f 10+35+55 100 100
750 грн –средний месячный доход персонала фирмы.
Расчёт среднего линейного отклонения:
1) по значениям признака исчисляется средняя арифметическая:
;Х= 500+400+200 =11
100
2) определяются отклонения каждой варианты 
от средней 
;
А)500-11=489; Б)400-11=389 в)200-11=189.
3) рассчитывается сумма абсолютных величин отклонений: 
;
489+389+189=1067
4) сумма абсолютных величин отклонений делится на число значений:
d=1067/100=10,67.
Расчёт среднего квадратичного отклонения.
|
|
|
1) определяют среднюю арифметическую взвешенную 
; Х = S х * f. Х=500 *10+400*35+200*55 = 50000+14000+11000 = 75000 =750 грн.
S f 10+35+55 100 100
2) определяются отклонения вариант от средней 
;
а)500-750=-250,400-750=-350,200-750=-550.
3) возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней 
;
а)-2502=62500,-3502=122500,-5502=302500.
4) умножают квадраты отклонений на веса (частоты) 
;
А)625000, б)4287500, в)16637500.
5) суммируют полученные произведения
; S2=625000 +4287500 +16637500=21550000.
6) Полученную сумму делят на сумму весов:
грн.
Задание №22.
Определить на сколько возросла за год общая стоимость двух видов товаров за счёт 2 основных факторов коммерческого успеха.
А)роста физического объёма (количества)проданного товара.
Б)изменения цен на товар.
Решение:
Рассчитаем индивидуальные индексы цен и физического объёма.
I p = p1/ p0; I q =q 1 / q0.Решаем: I p=6/4=1,5; I p=5/5=1.
I q=150/100=1.5; I q=180/120=1,5.
| Виды товара. | Физический объём проданных товаров. | Цена за единицу товара.(шт) | ||
| Прошлый год | Отчётный год | Прошлый год | Отчётный год | |
| А. | 100 | 150 | 4 | 6 |
| Б. | 120 | 180 | 5 | 5 |
Общий индекс цен равен:
6*150+5*180 /4*150+5*180=1,2 или 120%.По данному ассортименту товаров в целом цены повысились на 20 %.
Абсолютный прирост товарооборота за счёт фактора изменения цен:
∑∆ qp (p) = ∑ p1q 1 - ∑p0q 1= 6*150+5*180 - 4*150+5*180=1800 -1500 =300грн.
Повышение цен на 20% обусловило увеличение объема товарооборота в текущем периоде на 300 грн.
Общий индекс цен расчётный:
I p= S p 1 q 0 = 6*100+5*120 = 1200 =1,2 или 120 %.
Sp0 q0 4*100+5*120 1000
По ассортименту в целом повышение цены составило в среднем 20 %.
Сумма прироста
∑∆ qp (p) = ∑ p1 q0 -∑ p0 q0 =1200-1000=200 грн.
Повышение цен в текущем периоде в среднем на 20 % обуславливает увеличение объема товарооборота на 200 грн.
Общий индекс физического объема
I q = ∑ q 1 p 0 = 150 *4 +180*5 = 1500 =1,5 или 150%.
∑ q 0p0 100*4+120*5 1000
Прирост физического объема реализации в текущем периоде составил 50%.
Сумма прироста товарооборота
∑∆ qp (q)= =∑ q 1p0 -∑ q 0p0 =1500-1000=500 грн. В результате изменения физического объема реализации товаров в текущем периоде получен прирост объема товарооборота в сопоставимых ценах на 500 грн.
I q = ∑ q 1 p 1 = 150*6+180*5 = 1800 =1,5 или 150 %.
∑ q 0p1 100*6+120*5 1200
По данному ассортименту реализованных в текущем периоде товаров прирост физического объема товарооборота составил 50%.
Абсолютный прирост суммы товарооборота в результате изменения физического объема продажи товаров составил:
∑∆ qp (q ) = ∑ q 1p1 -∑ q 0p1 =1800-1200= 600 грн.
При этом за счет роста физического объема продажи товаров на 50% этот прирост составил 500 грн, а повышение цен на 20% увеличило объем товарооборота на 300 грн.
Общий индекс товарооборота в текущих ценах вырос на 80%.
I qp = ∑ q 1 p 1 = 1800 =1,8 или 180 %.
∑ q 0p0 1000
Прирост фактического объема товарооборота в текущем периоде равен:
∑∆ qp (q ) = ∑ q 1p1 - ∑q 0p0 =1800-1000 =800 грн.
Выводы
В этой курсовой работе мы научились решать задачи на нахождение средней арифметической взвешенной, решать задачи на нахождение индексов. Таким образом, статистика – это общественная наука, изучающая количественную сторону массовых общественных явлений в неразрывной связи с их качественной стороной.
Ученые, внесшие вклад в развитие статистики
– Уильям Петти – основатель статистики. Его заслуга в том, что он впервые применил числовой метод для анализа закономерностей общественной жизни. Работа – "Политическая арифметика".
– Адольф Кетле – бельгийский статистик. Доказал, что даже кажущиеся случайности общественной жизни обладают внутренней закомерностью и необходимостью.
– К.Ф. Герман – русский статистик ("Всеобщая теория статистики").
– В.И. Ленин – теория группировок, теория статистического наблюдения.
– Целый ряд других ученых.
Предмет статистики
Статистика изучает количественно определенные качества массовых социально-экономических явлений. Существует несколько точек зрения на статистику как на науку:
(1) Статистика – это универсальная наука, изучающая массовые явления природы и общества.
(2) Статистика – это методологическая наука, разрабатывающая методы исследования для других наук.
(3) Статистика – это общественная наука.
Явления общественной жизни – это сложное сочетание различных элементов.
– Общественные явления обладают вполне конкретными размерами.
– Общественным явлениям присущи определенные количественные соотношения, и существуют они независимо от того, изучает ли их статистика или нет.
Размеры и соотношения количества и качества отдельных явлений статистика выражает при помощи определенных понятий, статистических показателей. Числовое значение показателя, относящееся к определенному месту и времени, называют величиной показателя.
Список литературы
1. М.Р.Ефимова, Е.В.Петрова, В.Н.Румянцев. Общая теория статистики. 2-е издание. М.:ИНФРА-М, 2000.
2. Статистика. Учебное пособие. Под редакцией М.Р.Ефимовой. М.:ИНФРА-М, 2000.
3. В.М.Гусаров. Статистика. М.:ЮНИТИ, 2001.
4. Теория статистики. Под редакцией проф.Р.А.Шмойловой. М.:Финансы и статистика, 2000.
5. Практикум по теории статистики. Под редакцией проф.Р.А.Шмойловой. М.:Финансы и статистика, 2000.
6.Идеи,поиски,решения.Г.В Ковалевский, Харьковская Экономическая Школа,Харьков 2005 г.
|
|
|
