Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Описание экспериментальной установки и методика проведения измерений

Изучение законов распределения случайных погрешностей

(Методические указания по дисциплине «Общая теория измерений», Глебов В.В.,

ЮРГУЭС, Шахты, 2004)

Цель работы: изучить законы распределения случайных погрешностей и построить гистограмму распределения результатов измерений.

Оборудование: экспериментальная установка, стальной шарик.

Краткая теория.

Пусть произведено n одинаковых измерений некоторой величины и получен следующий ряд значений:

x₁, x₂, x₃,…, x_n (3.1)

Будем считать, что систематические погрешности исключены, тогда полученные значения являются случайными величинами. В общем случае все они различны между собой и отличаются от истинного значения из-за наличия случайной погрешности. Для наглядного представления результатов данных измерений можно построить так называемую гистограмму (рис.3.1). Техника её построения проста. Здесь диапазон значений от x_min до x_max разбивается на k (10 ÷ 15) разных интервалов шириной ∆ x = (x_max - x_min)/ k и подсчитывается число измерений из полученного ряда (3.1), попадающих в каждый из k - интервалов:

∆ n₁, ∆ n₂, …, ∆ n_k (3.2)

Вверх от оси x о ткладываются прямоугольники шириной ∆x и высотой ∆ n_i/(n∙∆x). Полученная таким образом ступенчатая фигура называется гистограммой.

Если через точки гистограммы, соответствующие срединам выбранных интервалов, провести плавную кривую, получим приближённый график (рис.3.1). Он показывает относительное число измерений∆ n_i/(n∙∆x) приходящееся на единицу ширины каждого интервала, как функцию величины x. В предельном случае (п →

∞; ∆ x → 0)приближенный график перейдет в точный график некоторой функции f(x) - рис. 3.2. Функция f(x) называется плотностью распределения случайных измерений. Произведение f(x)dx (заштрихованная площадь на рис. 3.2) задаёт вероятность того, что при измерении величина x будет принимать какое-нибудь значение из интервала (x; x + dx). Полная площадь под кривой f(x) определяет вероятность того, что измеренная величина x примет какое-то значение из интервала (- ∞; + ∞). Такое событие является достоверным, вероятность его равна единице, тогда

(3.3)

Выражение (3.3) называется условием нормировки функции f(x).

Конкретный вид функции f(X),вообще говоря, может быть различным. Однако для подавляющего большинства простых измерений в науке, технике и массовом производстве хорошо выполняется так называемый нормальный закон распределения или закон Гаусса:

(3.4)

Соответствующий график изображен на рис. 3.3, он представляет собой симметричную колоколообразную кривую. Функция f(x) характеризуется двумя параметрами: величиной , соответствующей максимуму кривой (это теоретическое истинное значение) и шириной кривой 2 σ на 0,6 её высоты. Параметр σ определяет величину разброса результатов измерений относительно истинного значения и называется средним квадратичным отклонением. Чем больше величина σ, тем больше вероятность заметных отклонений результатов измерений от истинного значения (рис. 3.3). Таким образом, параметр σ характеризует качество данных измерений.

Как уже отмечалось, площадь под кривой f(х) принимается равной единице. Площадь под кривой, соответствующая некоторому интервалу на оси x, определяет вероятность попадания результата измерения в данный интервал. Площадь под кривой f(X) в интервале значений () составляет около 0,68 (рис. 3.4). Это означает, что в среднем 68 процентов произведенных измерений попадают в "односигмовый" интервал около истинного значения. Аналогично в "двухсигмовый" интервал () попадает в среднем 95% всех измерений, а в "трёхсигмовый" - 99,7%, т.е. за его предела выходит ничтожная доля всего числа измерений. По этой причине измеренное значение можно считать промахом и отбросить, если оно выходит за пределы "трёхсигмового"интервала. Это правило является приближённым, более точная методика определения промахов приведена в приложении.

Интервал, в который заключено истинное значение измеряемой величины, называется доверительным интервалом, а вероятность, что истинное значение по

падает в доверительный интервал, называется доверительной вероятностью, или надёжностью. Например, если доверительный интервал принять равным "односигмовому", то доверительная вероятность для него будет равна 68%, для "двухсигмового" она составит 95%, для "трёхсигмового" - 99,7%.

Надежность результат, измерения, равная 95%, при "двухсигмовом" доверительном интервале для большинства практически проводимых расчетов является вполне достаточной. Это же значение будет использоваться и в нашем лабораторном практикуме.

Число измерений случайной величины x в том или ином эксперименте, как правило, ограничено, поэтому определить точные значения σ и x невозможно. Однако в теории вероятностей и математической статистике существует методика, позволяющая по результатам серии из n - измерений (называемых выборкой) находить приближенные оценки параметров x и σ [1,2]. Так, в качестве приближенной оценки истинного значения принимают среднее арифметическое для серии из n - измерений

А в качестве приближенной оценки среднего квадратичного отклонения однократного измерения от истинного значения используется выражение

Если получить m серий, каждая из которых содержит по n измерений, то по формуле (3.5) можно рассчитать ряд средних арифметических значений:

Данные значения будут отличаться друг от друга и от истинного значения в силу ограниченного числа измерений в серии. Этот ряд случайных величин также распределен по нормальному закону около истинного значения. Причем дисперсия распределения средних арифметических меньше дисперсии однократного измерения σ, т.к. среднее значение является лучшей оценкой истинного, чем результат однократного измерения. Теория даёт следующее выражение для оценки среднего квадратичного отклонения среднего арифметического от истинного значения [1,2]:

(3.7)

Из формулы (3.7) видно, что случайную погрешность среднего значения можно уменьшить, увеличивая число измерений в серии.

Конечная цель измерения состоит в том, чтобы определить доверительный интервал, внутри которого с заданной доверительной вероятностью (0,95 в нашем случае) находится истинное значение физической величины X, т.е. записать результат измерения в виде

(3.8)

Выражение (3.8) означает, что истинное значение измеряемой величины находится где-то внутри интервала () с заданной доверительной вероятностью.

Как уже отмечалось, приближенная оценка дисперсии отличается от истинного значения дисперсии из-за ограниченного числа измерений в серии. Это отличие будет тем больше, чем меньше число измерений в серии. По этой причине нельзя принять доверительный интервал просто равным "двухсигмовому" - 2

для используемой нами доверительной вероятности 0,95. Необходимо еще внести поправку, зависящую от числа измерений и расширяющую доверительный интервал. Для этой цели используются так называемые коэффициенты Стьюдента - t _αn, приводимые в таблицах (см.приложение) для разного числа измерений n при различных доверительных вероятностях α. С учетом коэффициента Стьюдента ширина доверительного интервала ∆ x вычисляется по формуле

(3.9)

Величина ∆ x, определенная по (3.9), характеризует абсолютное отклонение результата измерения от истинного значения и называется абсолютной погрешностью. Абсолютная погрешность еще не дает полного представления о точности проведенных измерений. Например, абсолютная погрешность при измерении двух временных интервалов в 100 с и 10 с оказалась одинаковой и равной 1 с, ясно однако, что точность этих измерений различна. Оценить её можно, рассчитав относительную погрешность по формуле

(3.10)

Относительная погрешность показывает, какую долю составляет абсолютная погрешность от результата измерения и обычно выражается в процентах. В нашем примере для интервала в 100с относительная погрешность составляет 1%, для интервала в 10с - 10%, т.е. точность первого измерения существенно выше.

Описание экспериментальной установки и методика проведения измерений

Установка для проведения опыта (рис 3.5) состоит из вертикально расположенной штанги (1) со шкалой, которая крепится к стене посредством двух кронштейнов (2). Кроме этого на штанге установлены два дополнительных кронштейна. К верхнему кронштейну крепится электромагнит (3), удерживающий металлический шарик, а к нижнему – ловитель (4) с контактной заслонкой, снабженной специальной ручкой для выставления в рабочее положение (5). Время движения шарика вниз отсчитывается по электросекундомеру (6) пуск которого осуществляется путем включения тумблера на пульте управления (7). Одновременно с пуском в ход электросекундомера обесточивается электромагнит и начинается свободное падение шарика. Остановка электросекундомера происходит при падении шарика на заслонку за счет разрыва электрической цепи.

При небольших высотах падение стального шарика диаметром 1,5 – 3 м можно считать свободным, т.к. в этом случае можно принять ускорение силы тяжести постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

В этом случае падение шарика будет описываться законом равноускоренного движения без начальной скорости. Если шарик поднять на некоторую высоту H, то где g - ускорение свободного падения, t - время падения шарика.

Отсюда получим формулу

При небольшой (до 3м) и неизменной высоте падения шарика, время падения шарика, определяемое данной установкой, будет постоянным. Очевидно, что

каждое измерение времени падения будет отличаться своей случайной погрешностью.

Порядок выполнения работы

1 Установить электромагнит на заданной высоте.

2 С помощью специальной ручки заслонку выставить в рабочее (горизонтальное) положение.

3 Включить тумблер «секундомер».

4 Рычагом вернуть стрелку секундомера в нулевое положение.

5 Выключить тумблер «магнит».

6 Записать время, отсчитанное электросекундомером.

7 Пункты 2 – 6 повторить 100 раз.

8 Повторить пункты 2 –7 еще для двух шариков другого размера.

9 Вычислить среднее значение t_ср: , где N – число измерений времени падения шарика t.

10 Выбрать максимальное и минимальное значения t_max, t_min.

11 Интервал полученных значений [ t_max, t_min ] разбить на 20 равных интервалов.

12 Подсчитать, сколько раз измеренное значение t попадает в каждый из 20 интервалов.

13 Построить гистограмму распределения результатов измерений (по оси абсцисс отложить значения t: от t_min до t_max, разбив на 20 расчетных интервалов (с соответствующим шагом); по оси ординат – количество измеренных значений t, попавших в соответствующий интервал).

14 Указать на гистограмме значение t_ср.

15 Вычислить среднеквадратическую погрешность одного измерения

16 На гистограмме от среднего значения t_ср вправо и влево отложить величину и подсчитать число измерений m₁ измеряемой величины, попавших в интервал . Вычислить частоту попадания результатов (доверительную вероятность) в указанный интервал .

17 Аналогично пункту 16 вычислить частоты P₂ и P₃ попадания в интервалы: , .

18 Полученные значения сравнить с соответствующими значениями для нормального распределения. Сделать вывод о законе распределения измеряемой величины. Вывод записать.

Контрольные вопросы.

1 Зависит ли время падения шарика от массы падающего шарика? Почему?

2 Какими факторами, в принципе, нельзя пренебрегать при большой высоте падения шарика? Почему?

3 Среднеквадратическая погрешность одного измерения и среднеквадратическая погрешность для среднего значения измеряемой величины.

4 Погрешности измерений.

5 Причины грубых погрешностей и способы их устранения?

6 Систематические погрешности. Источники систематических погрешностей в данной работе?

7 Случайные погрешности. Чем обусловлены случайные погрешности в данной работе?

Журнал лабораторных работ разработан на кафедре «ФИЗИКА» ГОУ ВПО «ЮРГУЭС», которая оставляет за собой эксклюзивное право на тиражирование и продажу данного продукта. Журналы, приобретенные или ксерокопированные у других производителей, являются недействительными.