 |
Примеры решения задач к контрольной работе №1
|
|
|
|
Задача №1
Даны координаты вершин треугольника 
: 
, 
, 
. Найти:
1) уравнения сторон 
и 
и их угловые
коэффициенты;
2) угол 
в радианах (градусах) с точностью до двух знаков после запятой;
3) уравнение высоты 
и ее длину;
4) уравнение медианы 
и координаты точки 
пересечения этой медианы с высотой .
Сделать чертеж (рис.1).
Рис. 1
Решение. 1) Найдем координаты векторов 
и 
, для чего воспользуемся формулой
.
Тогда 
, 
. Эти векторы являются направляющими векторами прямых, на которых лежат соответствующие стороны треугольника и для получения их уравнений можно использовать каноническое уравнение прямой на плоскости
.
В результате получим
(),
().
Разрешая эти уравнения относительно 
, т.е. приводя их к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом
,
найдем 
, 
.
2) Угол треугольника совпадает с углом между векторами 
и 
и для его нахождения можно использовать формулу
,
По таблице найдем значение угла : < 
(
).
3) Для получения уравнения высоты приведем уравнение стороны к виду общего уравнения прямой на плоскости
().
Из рисунка видно, что вектор нормали к прямой является направляющим вектором высоты , т.е. 
, и можно вновь воспользоваться каноническим уравнением прямой на плоскости
().
Длину высоты вычислим по формуле вычисления расстояния от точки 
до прямой 
:
.
В нашем случае 
.
4) Найдем координаты точки 
, являющейся серединой отрезка 
; 
.
Т.о., 
, и для нахождения уравнения медианы можно использовать уравнение прямой, проходящей через две точки 
и 
: 
. Тогда получим
или 
().
Наконец, для вычисления координат точки , решим совместно уравнения прямых и , предварительно приведя их уравнения к общему виду
|
|
|
.
Отсюда получим 
.
Задача №2
Даны координаты вершин пирамиды 
:
, 
, 
, 
. Найти:
1) длину ребра 
;
2) угол между ребрами 
и 
;
3) уравнение плоскости 
и угол между ребром
и плоскостью ;
4) уравнение высоты, опущенной из вершины 
на грань
и ее длину;
5) площадь грани и объем пирамиды.
Сделать чертеж.
Решение. 1) Длина ребра совпадает с расстоянием между точками 
и 
:
.
2) Найдем координаты векторов, которые совпадают с выходящими из вершины 
ребрами пирамиды:
Угол между ребрами и совпадает с углом между векторами 
и 
. Определим этот угол, используя формулу скалярного произведения векторов:
.
Отсюда
Тогда
.
3) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, имеет вид
.
Подставляя в уравнение координаты точек , и 
получим
,
или
.
Таким образом, уравнение плоскости имеет вид
.
Составим уравнение прямой, проходящей через точки и 
. Уравнение прямой, проходящей через две точки, имеет вид
,
где 
– координаты первой точки, 
– координаты второй точки. Подставляя в уравнение координаты точек и , получим
.
Угол между прямой 
и плоскостью 
определяется по формуле
Воспользуемся этой формулой для вычисления угла между ребром 
и плоскостью 
:
Отсюда 
.
4) Уравнение высоты найдем как уравнение прямой, проходящей через точку 
перпендикулярно плоскости , задаваемой уравнением . Из условия перпендикулярности прямой и плоскости следует 
, поэтому уравнение высоты 
имеет вид
.
Для нахождения длины высоты можно использовать формулу 
. Объем 
и площадь 
будут найдены в п.5). Поэтому 
.
5) Грань представляет собой треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
Найдем векторное произведение этих векторов. Имеем
.
.
Следовательно,
.
Для вычисления объема пирамиды воспользуемся смешанным произведением векторов. Напомним, смешанное произведение трех векторов по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. А объем пирамиды равен 
части объема этого параллелепипеда. Имеем
|
|
|
.
Поэтому 
.
Задача №3
Найти уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от начала координат и точки 
.
Решение. Пусть точка 
принадлежит искомой прямой. Расстояние между точками и вычисляется по формуле
.
По условию задачи 
, поэтому 
. Возведем обе части уравнения в квадрат. Приводя подобные члены, получим 
. Это и есть уравнение искомого геометрического места точек. Рекомендуется проверить, что эта прямая перпендикулярна отрезку 
и проходит через его середину.
Задача №4
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение. Метод Гаусса основан на приведении системы уравнений к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.
Расширенная матрица системы уравнений имеет вид
Поменяем местами первую и четвертую строки этой матрицы
.
Сложим первую и вторую строки матрицы. Затем последовательно умножим первую строку на (-2) и на (-3) и сложим с третьей и четвертой строками. Получаем:
.
Сложим вторую и третью строки матрицы. Затем умножим вторую строку на 4, а четвертую на 3 и сложим эти строки. Получим матрицу вида
.
Сложим третью строку матрицы с четвертой. В результате получим матрицу
.
Полученной матрице соответствует система уравнений вида
Из последнего уравнения находим 
. Из третьего уравнения находим, что 
. Из второго уравнения следует, что 
. Откуда 
. Подставив найденные значения 
в первое уравнение, получим 
Решение системы: 
Задача №5
Решить систему линейных уравнений
1) методом Крамера;
2) используя обратную матрицу.
Решение. 1) Решим систему уравнений методом Крамера. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными
находится по формулам
,
где
(предполагается, что Δ ≠ 0),
, 
, 
.
Для данной системы уравнений имеем
Вспомогательные определители
, 
,
Решение системы уравнений
.
2) Решим теперь систему матричным методом. Запишем исходную систему уравнений в матричном виде
,
где
Решение матричного уравнения имеет вид
|
|
|
,
где 
– матрица, обратная к матрице А. Заметим, что поскольку определитель матрицы А не равен нулю (
, см. п. 1), то матрица системы невырожденная и, следовательно, имеет обратную.
Обратная матрица находится по формуле
,
где Δ – определитель матрицы А, 
– алгебраическое дополнение элемента 
определителя матрицы А. Вычислим алгебраические дополнения:
Таким образом,
,
откуда
Следовательно, 
, 
, 
.
Задача №6
Вычислить пределы, не пользуясь правилом Лопиталя:
а) 
; б) 
в) 
; г) 
.
Решение. а) .
И числитель, и знаменатель дроби при 
стремятся к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида 
. Разделив числитель и знаменатель на 
, получим
.
б) 
;
И числитель, и знаменатель дроби при 
стремятся к нулю. Имеем неопределенность вида 
. Умножим числитель и знаменатель на выражение 
. Получим
.
в) 
;
Имеем неопределенность вида . Воспользуемся первым замечательным пределом 
. Получим
.
г) ;
Имеем неопределенность вида 
. Воспользуемся вторым замечательным пределом 
.
Введем в рассмотрение новую переменную 
, 
при 
. Тогда 
. Переходя к новой переменной, получим
.
Задача №7
Исследовать функцию 
на непрерывность. Определить характер точек разрыва, если они существуют. Сделать чертеж.
Решение. На промежутке 
функция совпадает с функцией 
. Это элементарная функция. Указанный промежуток входит в область определения функции 
. Значит на промежутке функция непрерывна, а, следовательно, на этом промежутке непрерывна и функция . Аналогично устанавливается непрерывность функции на промежутках (1; 2), (2; 5) и (5; + ∞).
Исследуем функцию на непрерывность в точках , 
и 
. Функция определена в этих точках: 
, 
, 
. Вычислим односторонние пределы в этих точках.
,
.
Таким образом, 
. Следовательно, в точке функция непрерывна.
,
.
Так как один из односторонних пределов равен + ∞, то точка является точкой разрыва второго рода.
,
.
В точке односторонние пределы конечны, но не равны между собой. Следовательно, точка является точкой разрыва первого рода.
|
|
|
Сделаем чертеж заданной функции (рис.2).
|
-3
Рис. 2
Задача №8
Найти производные заданных функций.
а) 
; б) 
;
в) 
; г) 
; д) 
; е) 
;
Решение. а) .
Применяя правило дифференцирования частного двух функций, получим
.
б) 
;
Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим:
.
в) ;
Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим
.
г) ;
И основание, и показатель степени здесь зависят от x. Прологарифмируем равенство:
или 
.
Продифференцируем обе части последнего равенства по x, учитывая, что 
есть сложная функция, так как y является функцией переменной x.
;
.
Следовательно,
.
д) 
;
Напомним: если функция 
задана неявно соотношением 
, то производную 
функции 
можно найти из уравнения
.
Перепишем выражение следующим образом:
.
Продифференцируем по x, учитывая, что y есть функция переменной x
.
Выразим 
,
,
.
Таким образом,
.
е) .
Функции 
и 
параметрически задают функцию . Ее производная вычисляется по следующей формуле
,
где
;
.
Отсюда
.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии / Н.В. Ефимов. - М.: Наука, 1975.
2. Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы / Н.В. Ефимов. - М.: Наука, 1972.
3. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления / Н.С. Пискунов - М.: Наука, 1985.
4. Привалов И.И. Аналитическая геометрия / И.И. Привалов. - М.: Физматлит, 1962.
5. Слободская В.А. Краткий курс высшей математики / В.А. Слободская. - М.: Высшая школа, 1969.
6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова - М.: Высшая школа. 1986. Ч. 1.
СОДЕРЖАНИЕ
| 1. | Общие рекомендации студенту-заочнику к изучению курса высшей математики......................... | ||||
| 2. | Правила выполнения и оформления контрольных работ | ||||
| 3. | Программа курса “Математика” для студентов- заочников инженерно-технических специальностей.... | ||||
| 4. | Вопросы для самопроверки к контрольной работе № 1. | ||||
| 5. | Контрольная работа № 1......................... | ||||
| 6. | Примеры решения задач к контрольной работе № 1.... | ||||
| Библиографический список....................... | |||||
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к контрольной работе № 1
по математике для студентов
инженерно – технических специальностей
заочной формы обучения
Составители:
Бырдин Аркадий Петрович
Иохвидов Евгений Иосифович
|
|
|
Сидоренко Александр Алексеевич
Томилов Марк Федорович
В авторской редакции
Компьютерный набор А.А. Сидоренко
Подписано в печать 20.04.2016.
Формат 60´84/16. Бумага для множительных аппаратов.
Усл. печ. л. 3,1. Уч.-изд. л. 2,9. Тираж 150 экз. “C”.
Зак. №
ФГБОУ ВО “Воронежский государственный технический университет”
394026 Воронеж, Московский просп., 14
|
|
|
