Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Опис роботи програми IDENT

Лабораторна робота №1

Апроксимація функціональної залежності «вхід-вихід».

ППП «Фактор»

Мета роботи: задаючи структуру поліномів конкретного виду, провести апроксимацію функціональної залежності, що найкраще відповідає даним спостережень згідно критерію найменших квадратів, використовуючи програму IDENT.

Основні теоретичні відомості

Будь-який елемент системи описується залежністю множини вихідних його змінних від множини вхідних. У загальному випадку така залежність може бути представлена функціональною залежністю. Відновлення функціональної залежності змінних моделі за результатами спостережень називають апроксимацією. Заміна об’єкта, який є елементом системи, його функціональною залежністю є, певною мірою, спрощення. Причини, з яких дослідник змушений використовувати апроксимацію різні. Можливо, об’єкт надто складний, щоб представити його функціонування більш детально, а можливо, спрощене представлення об’єкта дозволить спростити загальну модель системи.

Постановка задачі апроксимації. Розглядається об’єкт, що має одну вихідну змінну у та декілька вхідних змінних, представлених вектором х= (х ₁ ,х ₂ ,...х _m). Відомі дані спостережень про значення вхідної та вихідної змінної представлені таблицею 1.1.

Таблиця 1.1 Дані спостережень

Змінні	Спостереження
			n
Вхідна змінна х₁	х₁₁	х₂₁	…	х_n1
Вхідна змінна х₂	х₁₂	х₂₂	…	х_n2
…
Вхідна змінна х_n	х₁_m	х_2m	…	х_nm
Вихідна змінна y₁	y₁	y₂	…	y_n

Задача апроксимації полягає у знаходженні функціональної залежності заданого виду, що найліпше відповідає даним спостережень з точки зору критерію найменших квадратів. Нехай у_і – спостережувані значення вихідної змінної, – розраховані за функціональною залежністю f (x_і) значення вихідної змінної. Ідея критерію найменших квадратів полягає у тому, що розбіжність між спостережуваними і розрахованими значеннями вихідної змінної повинна бути мінімальною. Якщо розбіжність вимірювати сумою різниць , то може статися так, що навіть при великих різницях загальна розбіжність має мале значення. Тому розбіжність вимірюють сумою квадратів різниць . Отже, критерій найменших квадратів має вид:

(1.1)

де мінімум у загальному випадку розглядається по відношенню до різних пропонованих функцій .

Графічне представлення змісту критерію найменших квадратів наведено на рисунку 1.1. У випадку багатьох змінних неможливо представити графічно функціональну залежність у=f(x), тому на графіку розлядається тільки залежність у=у(і), де і – номер спостереження.

Рис. 1.1. Графічне представлення змісту критерію найменших квадратів

Будемо вважати, що функція F задана на дискретній множині точок у вигляді таблиці 1.1. На цій же множині точок будується апроксимуючий поліном. Вигляд і степінь полінома задаються у вхідному потоці даних програми Ident пакету прикладних програм (ППП) «Фактор». Коефіцієнти полінома визначаються таким чином, щоб середнє квадратичне відхилення від значення функції було б мінімальним.

ППП "Фактор" призначений для вирішення технічних, конструкторсько-технологічних і техніко-економічних завдань. Реалізований у вигляді пакету прикладних програм, що складається з функціональних і допоміжних модулів.

За допомогою ППП "Фактор" можна вирішувати задачі ідентифікації параметрів статичних і динамічних систем, прогнозування процесів зміни заданих або вибираних показників. Кожне із завдань може вирішуватися незалежно або в комплексі з іншими завданнями.

Ідентифікація параметрів моделей складних систем грунтується на методі найменших квадратів і дозволяє визначати параметри моделей статичних і динамічних систем виходячи з критерію мінімуму середньоквадратичної помилки. Статична система задається системою, функцій багатьох змінних, що представляються у вигляді полінома до 9-ої степені включно.

Для апроксимації функціональної залежності в програмі Ident ППП «Фактор» можливо задати поліном будь-якого вигляду. Наприклад, для апроксимації функції трьох змінних можуть бути використані такі поліноми: F₁(∙)=a₀+a₁x₁+a₂x₁x₂+a₃x₁x₂x₃; F₂(∙)=a₁x₁x₂+a₁x₁²x₂³+a₁x₂x₃²;F₃(∙)=a₁x₁²+a₂x₂²+a₃x₃².

Для задання таких поліномів в програмі Ident необхідно задавати наступні структурні числа: для F₁(∙) – 0,1,12,123; для F₂(∙) – 12,11222,233; для F₃(∙) – 11,22,33.

Поліном задається у вигляді набору цифрових кортежів, де кожна цифра позначає номер відповідного аргументу (0-вільний член), а всі аргументи відповідного кортежу перемножуються.

Опис роботи програми IDENT

Вхідні дані:

Req – режим:

req =1 – задаються всі дані;

req =2 – задаються тільки значення функції та вид поліному;

req =3 – задається тільки вид поліному;

na – число аргументів;

nt – число точок;

a – na*nt матриця аргументів;

f – nt вектор значень функції;

im – число коефіцієнтів полінома;

mp – вид (структура) поліному.

Завдання до роботи

Постановка задачі. Провести апроксимацію функціональної залежності, задаючи поліноми конкретного виду, використовуючи програму IDENT. Провести пошук оптимального варіанта полінома згідно критерію мінімуму середньоквадратичної похибки.

Таблиця 1.2 Варіанти роботи

№ варіанта	1-й тип полінома	2-й тип полінома
	0,11,23,233 11,23,233,13 0,12,321,23 0,13,133,22 12,1,31,23 0,22,31,33 0,11,21,31 32,223,11,12 0,23,12,111 0,12,122,133	1,22,333,12 22,333,12,23 333,12,23,11 21,32,22,33 32,11,333,21 2,11,33,22 31,21,32,233 21,31,322,33 31,21,111,222 0,31,22,231

Таблиця 1.3 Значення змінних

№ вар.

Х₁

Х₂

Х₃

Значення F

Таблиця 1.4

Х₁

Х₂

Х₃