 |
Примеры решения задач. Решение. Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. Найдем волновую функцию частицы. Для нее мы ожидаем:
|
|
|
|
Примеры решения задач
Задача 1. Показать, что ограничение частицы в пространстве вызывает квантование ее энергии.
Решение
Рассмотрим частицу в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (см. рис. 5. 5).
|
| Рис. 5. 5 |
Найдем волновую функцию частицы. Для нее мы ожидаем:
·Y(х) = 0 вне ямы;
· Y(0) = Y(L) = 0 на стенках ямы;
· Y(х) должна быть волной или суммой волн, т. к. представляет частицу и должна быть связана с деБройлевской волной.
Пусть волновая функция имеет вид:
Она должна вписываться в «ящик» (рис. 5. 6):
|
| Рис. 5. 6. |
Это означает, что целое число полуволн должно укладываться на длине L
или возможные длины волн равны:
,
где n = 1, 2, 3, …..
Отсюда получаем возможные значения импульсов частицы в яме:
Полная энергия частицы в пределах ямы равна кинетической энергии, т. к. потенциальная энергия в яме U = 0 и частица является свободной:
Итак, частица обладает не любой энергией, а вполне конкретной, зависящей от целого числа n
,
где n – главное квантовое число.
Таким образом, действительно ограничение движения частицы в пространстве приводит к квантованию ее энергии. Это же должно быть справедливо и для электрона в атоме водорода.
Отметим, что энергия частицы с Е = 0 отсутствует, т. к. соответствующая ей волна не существует. Таким образом, минимальная энергии частицы в потенциальной яме соответствует состоянию с квантовым числом n=1:
Задача 2. Частица находится в одномерном потенциальном ящике шириной L. Найти среднее положение частицы в основном состоянии.
Решение
По определению средняя координата частицы определяется из соотношения
|
|
|
Волновая функция частицы в потенциальной яме (см. предыдущую задачу)
Из требования
длина волны основного состояния, для которого n = 1, равна 
, а волновой вектор
Волновая функция основного состояния имеет вид: 
Волновая функция должна быть нормирована: 
.
Из условия нормировки находим амплитуду волновой функции А:
Вычислим интеграл:
Получаем: 
Итак, волновая функция основного состояния имеет вид:
Находим среднюю координату частицы:
Вычислим интеграл:
В результате получаем: 
Видно, что частица находится в середине ящика, что и следует из плотности вероятности 
:
Рис. 5. 7. Частица в потенциальной «яме»
с бесконечно высокими стенками
Задача 3. Какова ширина (l) одномерной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками, если при переходе электрона со второго квантового уровня (n1 = 2) на первый (n2 = 1) излучается фотон с энергией Е = 1 эВ?
| Дано: n1 = 2 n2 = 1 Е = 1 эВ | СИ: 1. 6× 10-19 Дж |
| l -? |
Решение
Запишем уравнение для энергии электрона на заданных стационарных уровнях:
По условию задачи при указанном переходе выделяется квант энергии:
Δ Е = Е1 – Е2.
Подставим значения соответствующих энергий и получим уравнение:
Из последнего уравнения выразим искомую величину – ширину ямы (l):
Подставим численные значения и сделаем расчет:
Ответ: l = 1, 062 10-9 м.
Задача 4. При какой ширине (l) потенциальной ямы дискретность энергии микрочастицы, находящейся в ней, сравнима с энергией теплового движения при температуре Т.
Решение
Запишем уравнение для собственных энергий электрона в атоме для стационарных уровней с номерами n и (n + 1):
и 
Запишем дискретность энергии микрочастицы для указанных состояний с номерами n и (n + 1):
По условию 
, поэтому можно записать:
Решаем полученное уравнение относительно ширины ямы – l
|
|
|
Ответ: 
|
|
|
