Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме
Понятие комплексного числа 1.1 С – множество комплексных чисел Комплексным числом называется выражение вида , где и - действительные числа, - мнимая единица (). Для комплексного числа определены модуль и аргумент. В конце 18 – начале 19 в. Было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позже выяснилось, что удобнее изображать число не самой точкой , а вектором , идущим из начала координат. Тогда вектор можно задавать не только координатами и , но также длиной и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом , , , (, ), . Тригонометрическая форма комплексного числа: , , , . Формула Эйлера: . Показательная форма: . Арифметические операции над комплексными числами 1. Сложение: . 2. Вычитание: . 3. Умножение: . 4. Деление: . Арифметические операции над комплексными числами в тригонометрической форме 1. Умножение: 2. Деление: . 3. Возведение в степень (формула Муавра): , . 4. Извлечение корня , . 2. Понятие функции комплексного переменного 2.1 Область определения и область значения
Пусть даны две плоскости комплексных чисел и . Рассмотрим некоторое множество точек D в плоскости z и множество G в области w. Если каждому числу по некоторому закону поставлено в соответствие определенное комплексное число , то говорят, что на множестве D задана однозначная функция комплексного переменного, отражающая множество D во множество G: Множество D называют областью определения функции f(x). Если каждая точка множества G является значением функции, то говорят, что G – область значения этой функции (или образ множество D при помощи функции ). Т.е. функция f отображает D на G.
Функцию можно записать в виде: , где , – действительные функции, . Если каждому соответствует несколько разных значений w, то функция называется многозначной.
2.2 Предел и непрерывность ФКП Функция имеет предел в точке , равный числу , если (2.1) или (2.2) Более подробно свойство (2.1) запишем: (2.3) Тогда свойство (2.2) запишем так: , (2.4) Таким образом, необходимо всюду вместо абсолютной величины писать модуль комплексного число. Свойства пределов: 1) ; 2) 3) ; 4) , Эти свойства выполняются, если существуют пределы, стоящие в левых и правых частях равенств. Функция называется непрерывной в точке z0, если , (2.5) Таким образом, непрерывная в точке z0 функция должна быть определена в окрестности этой точки, в том числе и в ней самой и должно выполняться равенство (2.5). Это равенство эквивалентно двум равенствам: и (2.6) Следовательно, непрерывность функции f в точке z 0 эквивалентна непрерывности функций u и v в точке (x 0, y 0). Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области D, называется непрерывной в этой области. Рассмотрим область D, ограниченную замкнутой не самопересекающейся линией Г. Эта область называется односвязной. Если область D ограничена двумя замкнутыми не пересекающимися и не самопересекающимися линиями Г 1и Г 2, то область D называется двусвязной: Пусть Г 1 – внешняя линия, а Г 2 – внутренняя. Область является двусвязной и в том случае, если линия Г 2 вырождается в точку или в дугу непрерывной линии. Тогда это четырехсвязная область.
3. Производная функция комплексного переменного Пусть задана однозначная функция на области комплексной плоскости . Производной от функции в точке называется предел:
где любым способом стремится к нулю.
Функцию , имеющую непрерывную производную в любой точке области комплексной плоскости, называют аналитической функцией на этой области. Степенная функция : Функция при аналитическая на всей плоскости , а при на всей плоскости с выколотой из неё точкой . Функции : Представим первые три из них как суммы степенных рядов: Радиус сходимости каждого из этих рядов равен . Поэтому производные от этих функций могут быть получены для любых почленным дифференцированием соответствующих рядов: Функция tgz определяется по формуле: . Тогда ее производная: . Функция a z (a>0) . Используя формулу о производной сложной функции получаем: . Гиперболические функции sh z, ch z, th z . Кроме того, . Тогда получаем тождества: Производные гиперболических функций: . 4. Условия Коши – Римана (Даламбера - Эйлера) Рассмотрим комплексную функцию , где , определённую на области D комплексной плоскости. Пусть она имеет производную в точке , т.е.: (4.1) При этом приращение функции можно записать в виде: . Как известно, в пределе (4.1) стремиться к нулю любым способом, т.е. возможны два случая: 1) и ; 2) и ; В первом случае: . Во втором случае: . Таким образом, должны выполняться равенства: и . Эти равенства называют условиями Коши – Римана. Однако эти условия были известны ещё Эйлеру и Даламберу. Теорема 1: Если функция имеет производную в точке , то её действительные компоненты u и v имеют в точке частные производные первого порядка, удовлетворяющие условиям Коши – Римана. Теорема 2: Если функции и имеют в точке непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши – Римана, то функция имеет в точке производную. Из теоремы 1 и 2 вытекает теорема 3. Теорема 3: Для того, чтобы функция была аналитической на области D плоскости z, необходимо и достаточно, чтобы частые производные первого порядка функций u и v были непрерывны на D и выполнялись условия Коши – Римана. Функции u и v называются сопряжёнными друг к другу на D. Замечание. Если функцию представить в виде: , где R – модуль, Ф – аргумент функции , то условия Кошт – Римана имеют вид: и . Пример. Проверить выполнение условий Коши – Римана для , . Тогда
. . Таким образом, , . Найдём производные первого порядка: ; ; ; . Таким образом, условия Коши – Римана выполняются. Так как частные производные от u и v непрерывны для любых точек , то функция является аналитической на всей комплексной плоскости. Практика 16.1. Даны комплексные числа , . Найти: 1) , 2) , 3) .
1) , , 2) , 3) .
16.2. Комплексные числа , представить в тригонометрической форме и найти: 1) , 2) , 3) , 4) .
1) , , тогда . , , тогда . . 2) .
3) .
4) , , т.е. . , , , , , .
16.3. Комплексные числа , представить в показательной форме. , , , , , .
16.4. Решить уравнения а) , . б) , . в) Пусть , тогда , , , т.е. , . Рассмотрим число в алгебраической форме: . При этом или Приравняем соответствующие действительную и мнимую части:
– посторонний корень, т.к. и v 1 = 1 u 1 = –2; v 2 = –1 u 2 = 2 Получим 2 корня исходного уравнения: x 1 = –2 + i; x 2 = 2 – i Рассмотрим число . В алгебраической форме , . При этом или Составим и решим систему уравнений:
– посторонний корень, т.к. и v 3 = 1 u 3 = 2; v 4 = –1 u 4 = –2. Получим ещё 2 корня исходного уравнения: x 3 = 2 + i; x 4 = –2 – i Ответ: x 1 = –2 + i, x 2 = 2 – i, x 3 = 2 + i, x4 = –2 – i. г) По формуле Муавра: , где , , . Т.о. Тогда, извлекая корень 6-й степени, получаем: . k=0: k=1: k=2: k=3: k=4: k=5: Ответ: , , , , ,
ИДЗ № 1 1. Найти все значения корня
1) , Тогда
2)
Тогда 3)
Тогда 4)
Тогда 5)
Тогда 6) , , , , Тогда, при при : при : при : 7) , , , , Тогда, при : при : при :
8) , Тогда, при : при : при : при : 9) , , Тогда, при : при : при : при : 10) , Тогда, при : при :
при : при 11)
Тогда, при : при : при : при :
12)
Тогда, при при : при : при :
Задача 2. Представить в алгебраической форме 1) Многозначный логарифм: В данном случае, , тогда: Следовательно, При ,получаем главное значение 2) 3) = 4) 5)
6) В данном случае: , . Тогда , , следовательно, .
При - главное значение 7) , , . При - главное значение . 8) , , . При - главное значение . Задача 3. Представить в алгебраической форме. ,
2) 3) 4) 5) Практика. Дифференцирование ФКП. Условия К-Р 1028. Дифференцируема ли функция Имеем , . Тогда , . - выполняется. , . - не выполняется. Следовательно, функция не дифференцируема. 1030. , , . , . Условия К-Р выполняются. Найдем производную . Для этого можно воспользоваться одной из формул: (1) (2) (1) (2) 1034. Показать, что функция дифференцируема и найти ее производную ; . ; . 1035. Дифференцируема ли функция ? ; .
|
|
|