Динамика поступательного движения
КИНЕМАТИКА
Материальная точка движется по окружности радиуса r. Движение точки можно описывать либо как поступательное по криволинейной траектории, либо как поворот соответствующего радиуса-вектора. Поэтому дана либо временная зависимость координаты точки S (t) (варианты 1–12, 26), либо зависимость угла поворота радиуса-вектора от времени φ(t) (варианты 13–25). Точка начинает двигаться при t = 0. Требуется проанализировать ее движение на заданном интервале времени (0 ≤ t ≤ 6 с в вариантах 1 – 12, 26 и 0 ≤ t ≤ 1 с в вариантах 13–25). Кроме того, следует определить в указанный момент времени t 1: 1) линейную и угловую скорости (т. е. направление и величины); 2) путь S 1, пройденный точкой с момента начала движения; 3) нормальное , тангенциальное и полное ускорения, а также угловое ускорение точки. Исходные данные приведены в табл. 1.1. Рассмотрим в качестве примера 26-й вариант. Для краткости опустим словесную формулировку задачи. Решение Чтобы понять, как движется точка при 0 ≤ t ≤ 6 с, построим графики зависимостей S (t) и υ (t) = (t) на этом временном интервале:
υ (t) = 2 t – 4. Выберем в качестве начала отсчета на окружности точку А (рис. 1.1). Положительные значения S и φ будем откладывать против, отрицательные – по ходу часовой стрелки. При t = 0 имеем S = 3 м, что соответствует, скажем, точке В. В течение первой секунды движения величина S уменьшается до нуля, т. е. точка попадает из В в А, двигаясь по ходу часовой стрелки. Скорость при этом отрицательна. В течение второй секунды точка продолжает двигаться в том же направлении и при t = 2 с попадает в С, где S = – 1 м. Скорость в этот момент равна нулю. В течение третьей секунды точка движется из С против хода часовой стрелки (υ (t) > 0 при 2 с < t ≤ 3 с) и при t = 3 с попадает в А (S = 0). При t > 3 с, как видно из графиков, S (t) > 0 и υ (t) > 0. Следовательно, точка будет далее двигаться против хода часовой стрелки. Отметим, что а (t) = (t) = 2 м/с2, т. е. движение точки равноускоренное.
Определение величин пути, скоростей и ускорений производится по стандартным формулам и здесь не приводится. Зная направление движения точки (против хода часовой стрелки), также легко определить направление линейной и угловой скоростей при t 1 = 4 с.
Таблица 1.1
Окончание табл. 1.1
ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Варианты 1–6, 26. К грузу массой m 1 подвешен на веревке груз массой m 3. Масса веревки m 2. Вся система поднимается вертикально вверх под действием силы . Сила натяжения веревки со стороны груза m 1 равна , а со стороны груза m 3 равна .
Варианты 7–12. Три тела, связанных невесомыми нитями, лежат на гладкой горизонтальной поверхности. К телу массой m 1 приложена сила , направленная вдоль поверхности, а к телу массой m 3 – сила , направленная в противоположную сторону. Ввиду невесомости нитей силы натяжения между телами m 1 и m 2 и между телами m 2 и m 3 можно считать постоянными по всей длине соответствующей нити. Трением пренебречь.
Варианты 13–19. Маляр, масса которого m 1, работает в подвесном кресле. При подъеме вверх он тянет веревку с такой силой , что его сила давления на кресло уменьшается до . Масса кресла равна m 2 (рис. 2.1).
Варианты 20–25. Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α. Гири с массами m 1 и m 2 соединены невесомой нитью и перекинуты через блок. Сила натяжения нити . Коэффициент трения гири с массой m 2 о наклонную плоскость равен k. Трением в блоке можно пренебречь (рис. 2.2).
Исходные данные для всех вариантов приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Продолжение табл. 2.1
Окончание табл. 2.1
Здесь а – ускорение системы.
Рассмотрим, например, 26-й вариант задачи. К грузу массой m 1 = 10-3 кг подвешен на веревке груз массой m 3 = 15 · 10-4 кг. Масса веревки m 2 = 5 · 10-4 кг. Вся система поднимается вертикально вверх с силой F 1 = 5 · 10-2 Н. Определить силы натяжения веревки и ускорение системы. Решение На груз m 1 действуют три силы: со стороны Земли – сила тяжести ; со стороны растянутых нитей – сила натяжения и сила тяги . На груз m 3 действуют две силы: со стороны Земли – сила тяжести и со стороны нити – сила натяжения . На рис. 2.3 точки приложения сил выведены вправо от грузов. На веревку массой m 2 действуют три силы (рис. 2.4): со стороны Земли – сила тяжести ; со стороны верхнего груза – сила, равная по величине и противоположная по направлению силе, с которой веревка действует на этот груз, т. е. (– ); со стороны нижнего груза – сила, равная (– ). Проведенный анализ позволяет написать уравнение движения (второй закон Ньютона) в векторном виде для каждого из трех рассматриваемых тел в отдельности. Спроектировав эти уравнения на ось у (вдоль этой оси совершается движение тел), получим систему из трех алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами, решение которой дает следующие результаты:
м/с2;
Н;
Н. Анализ ответа. Если m 2 = 0, т. е. нить «невесома», то натяжение вдоль всей нити одинаково: .
Примечание: в вариантах 7–12 ось удобно выбирать по горизонтали, а в вариантах 20–25 одну из осей – вдоль наклонной плоскости. Сила трения (варианты 20–25) в данном случае определяется как произведение коэффициента трения на силу нормального давления (т. е. составляющую веса тела, перпендикулярную наклонной плоскости). В вариантах 1–6 необходимо получить расчетные формулы для а, Fнат 1, Fнат 2. Проверка правильности размерности результатов здесь достаточно проста, и для краткости ее опускаем. РАБОТА
Варианты 1–8, 26. Под действием постоянной силы тяги F вагонетка массой m прошла путь S за время t и приобрела скорость υ. Ускорение вагонетки а. Коэффициент трения k. Работа силы F по движению вагонетки равна А.
Варианты 9–16. Груз массой m под действием постоянной силы F за время t поднимается на высоту h. Ускорение груза а. Скорость в конце подъема υ. Работа силы F по подъему груза равна А.
Варианты 17–25. Груз массой m под действием постоянной силы тяги F поднимается по наклонной плоскости длиной l за время t. Ускорение груза а, скорость в конце подъема υ. Коэффициент трения k. Угол наклона плоскости φ. Работа силы F по подъему груза равна А. Исходные данные для всех вариантов приведены в табл. 3.1–3.3.
Таблица 3.1
Таблица 3.2
Таблица 3.3
Рассмотрим в качестве примера 26-й вариант.
Под действием постоянной силы F вагонетка массой 400 кг прошла путь 5 м и приобрела скорость 2 м/с. Коэффициент трения равен 0,01. Определить время t движения и ускорение а вагонетки, а также силу, действующую на вагонетку, и работу А этой силы. Решение
Работа постоянной силы F по перемещению вагонетки равна . (3.1) Для определения силы F запишем уравнение движения (2-й закон Ньютона) для вагонетки (рис. 3.1) + = (3.2) Сила трения Fтр равна по величине произведению коэффициента трения на силу нормального давления и в данном случае
. (3.3)
Равноускоренное движение вагонетки описывается соотношениями
; υ = аt. (3.4) Решение системы уравнений (3.1)–(3.4) дает следующие результаты:
t = 5 c; a = 0,4 м/с2;
Н;
Дж.
Примечание. В результате воздействия внешней силы вагонетка преодолевает сопротивление силы трения и приобретает кинетическую энергию. Поэтому работу А можно определить также из следующего соотношения:
Дж. Проверка размерностей результатов здесь достаточно проста, и для краткости ее опускаем.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Трофимова Т. И. Курс физики / Т. И. Трофимова. – М.: Высш. шк., 2000. – 542 с. 2. Савельев И. В. Курс общей физики: в 3 т. / И. В. Савельев. – М.: Наука, 1982. – Т. 1. – 432 с. 3. Чертов А. Г. Задачник по физике / А. Г. Чертов, А. А. Воробьев. – М.: Высш. шк., 1988. – 527 с.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|