1.5. Преобразование спектра детерминированного сигнала в линейных системах

 

В линейной, нечувствительной к сдвигу системе, удобнее осуществлять преобразование не самих сигналов, а их спектральных характеристик, т. к. в этом случае интегральная операция свертки заменяется операциями умножения и сложения.

Этот переход базируется на теореме свертки: преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье исходных функций. Таким образом, равенствам (1. 32) и (1. 33) в спектральном пространстве соответствуют выражения:

 

		(1. 42)
		(1. 43)

 

где  и  – спектральные плотности выходного и входного сигналов;

 – комплексная частотная характеристика системы, представляющая Фурье-преобразование импульсной реакции;

 – комплексные частотные характеристики фильтров, образующих систему.

Подстановка выражения (1. 7) в формулы (1. 42) и (1. 43) позволяет осуществить переход от соотношений, связывающих спектральные плотности и комплексные частотные характеристики к уравнениям, содержащим амплитудно- и фазочастотные характеристики:

 

	Sвых(v) = Sвх(v) · S0(v);	(1. 44)
	qвых(v) = qвх(v) +q0(v);	(1. 45)
	S0(v) = S01(v) · S02(v) ·…· S0n(v);	(1. 46)
	q0(v) = q01(v) + q02(v) +…+ q0n(v),	(1. 47)

 

где S_вых(v), S_вх(v) – АЧХ сигнала на выходе и входе системы;

q_вых(v), q_вх(v) – ФЧХ сигнала на выходе и входе системы;

S₀(v), q₀(v) – АЧХ и ФЧХ системы, вычисляемые по формулам (1. 5), (1. 6), (1. 8), (1. 9), куда вместо E(t) подставляется импульсная реакция системы E₀(t);

S₀₁(v), S₀₂(v), …, S_0n(v) – АЧХ фильтров, образующих систему;

q₀₁(v), q₀₂(v), …, q_0n(v) – ФЧХ фильтров, образующих систему.

Из выражений (1. 44)–(1. 47) следует, что в пространстве спектров вместо интегральной операции свертки фильтрация характеризуется произведением АЧХ и суммой ФЧХ, причем, в отличие от свертки, где можно вычислить только выходной сигнал и импульсную реакцию системы в целом, в спектральном пространстве можно определить любой член выражений по известным остальным. Например, зная сигнал на выходе, а, следовательно, его АЧХ, ФЧХ, и соответствующие характеристики системы или фильтра, можно рассчитать АЧХ и ФЧХ входного сигнала, т. е. восстановить входной сигнал.

Такой простой способ восстановления исходной информации подразумевает отсутствие шума в сигнале и в канале его передачи. Непременное наличие шума в реальных системах, позволяет восстановить входной сигнал лишь с некоторой погрешностью.

Пример. Найдем АЧХ и ФЧХ сигнала в плоскости светочувствительного материала при получении миры с косинусоидальным распределением контраста (см. пример из раздела 1. 4). Сигнал Е_вх(x) представляет собой четную функцию, следовательно, его АЧХ S_вх(v) есть косинус-преобразование Фурье. Найдем S_вх(v), используя таблицы преобразований Фурье [7]:

 

 

где f – пространственная частота, мм^–1;

 прочие обозначения приведены в предыдущем примере.

ФЧХ входного сигнала q_вх(f) из-за его четности равна нулю.

Аналогично определяем АЧХ S₀(f) и ФЧХ q₀(f) щели, используя четность импульсной реакции:

 

S₀(f) = sinc(pfA),

 

q₀(f) = 0.

 

АЧХ S_вх(f) и ФЧХ q_вых(f) на выходе щели найдем, используя формулы (1. 44) и (1. 45):

 

 

Выходной сигнал, или распределение освещенности в плоскости светочувствительного материала в силу четности АЧХ S_вх(f) можно найти, как ее косинус-преобразование:

 

 

Очевидно, что определение выходных характеристик сигнала с использованием произведения в спектральной области удобней, чем с применением свертки (см. предыдущий пример).

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: