Для решения задачи симплекс-методом приведем систему неравенств
Задача №1. Даны коэффициенты прямых затрат aij и конечный продукт Yi для двухотраслевой экономической системы. Данные приведены в таблице (используя личные числовые данные: m=4 и n=4). 1. Определить коэффициенты полных затрат, вектор валового выпуска, межотраслевые поставки продукции; 2. Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат; 3. Составить и заполнить таблицу межотраслевого баланса. 4. Найти матрицу косвенных затрат.
Преобразуем табличные данные в матрицы: 1) Матрица коэффициентов прямых затрат А.
2) Вектор конечной продукции Y.
Решение: 1. Определить коэффициенты полных затрат. Необходимо найти матрицу полных затрат В=(E-А)-1 1) Находим матрицу К=(Е-А)
2) Для нахождения матрицы К-1=(Е-А)-1, необходимо вычислить определитель матрицы.
Так как |K|≠0, то существует матрица К-1 = В обратная заданной матрице К. Каждому элементу матрицы К находим алгебраическое дополнение К11 = (-1)^(1+1)* 0,800 = 0,800 К12 = (-1)^(1+2)* (-0,300) = 0,300 К21 = (-1)^(2+1)* (-0,100) = 0,100 К22 = (-1)^(2+2)* 0,500 = 0,500 Элементы обратной матрицы получаются путем деления алгебраических дополнений на определитель
Определить вектор валового выпуска X.
X = B*Y В – матрица полных затрат; Y – вектор конечной продукции.
Определить межотраслевые поставки продукции.
Xij = αij * xj αij – коэффициенты прямых затрат xj - валовые объемы отраслей.
X11 = a11 * x1 = 0,5*2351,351= 1175,676 X21 = a21 * x1 = 0,3 *2351,351= 705,405 X12 = a12 * x2 = 0,1*1756,757= 175,676 X22 = a22 * x2 = 0,2*1756,757= 351,351 Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат X ≥ A*X
Каждый элемент матрицы X, больше соответствующего элемента матрицы А*Х. Условие выполнено, следовательно матрица продуктивна. Составим и заполним таблицу межотраслевого баланса
Zj= Хi- ∑Хij Z1= 2351,351- (1175,676+705,405) =470,270 Z2 = 1756,757 - (175,676 + 351,351)=1229,730 ∑ Zj= ∑ Yj =1700 - первое балансовое отношение ∑ Xj= ∑ Xi = 4108,108 - второе балансовое отношение
Найти матрицу косвенных затрат
Матрицу косвенных затрат найдем по формуле: С=В-Е-А
Ответ: 1. Коэффициенты полных затрат В:
2. Вектор валового выпуска:
3. Межотраслевые поставки продукции:
4. матрица продуктивна. 5. Таблица межотраслевого баланса:
6. Матрица косвенных затрат С:
Задача №2. Предприятие планирует выпуск двух видов продукции: I и II. На производство расходуется три вида сырья: А,В и С.Потребность aij на каждую единицу j- го вида продукции i-го вида сырья, запас bi соответствующего вида сырья и прибыль cj от реализации единицы j-го вида продукции заданы таблицей:
Предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее 2 единиц обоих видов сырья. Решение:
При ограничениях 2х1 +2х2 ≤ 20 х1 +х2 ≤ 10 2х1 +6х2 ≤ 36 х1 +х2 ≥ 2 х1;х2 ≥ 0 Найти максимум линейной функции: Z= 7х1 +3х2 → max прибыль Z= 7х1 +3х2 → max Поскольку задача двумерная, то ее можно решить графическим способом. Система ограничений дает многоугольник решений. Для его построения запишем неравенства в виде уравнений и определим границы ОДР. 2х1 +2х2 = 20 х1 +х2 = 10 2х1 +6х2 = 36 х1 +х2 = 2 хi ≥ 0
1) 2х1 +2х2 –20 =0 х1 = 0 х2 = 10 х1 = 10 х2 = 0
2) х1 +х2 –10 = 0 х1 = 0 х2 = 10 х1 = 10 х2 = 0
3) 2х1 +6х2 –36 = 0 х1 = 0 х2 = 6 х1 = 18 х2 = 0
4) х1 +х2 = 2 х1 = 0 х2 = 2 х1 = 2 х2 = 0 Получаем пятиугольник АВСDE. Приравнивая целевую функцию к нулю, получаем первую опорную прямую(z): 7х1 +3х2 = 0 х1 = 0 х2 = 0 х1 = 3 х2 = -7 Из точки начала координат строим вектор n (7;3), перпендикулярно опорной прямой. Далее, передвигая линию Z в направлении возрастания (в сторону вектора n). В последней пересекаемой вершине D получаем наибольшее значение z. Вершина D- это точка пересечения прямых L1 и L2 с осью ОХ1. Координаты т.D: (точка max) – при которой достигается максимальное значение. х1 = 10 х2 = 0 При этих значениях функция будет равна: Z= 7х1 +3х2 = 70 Т.к. одна из переменных = 0, необходимо оптимизировать производство. Передвигая линию Z в направлении убывания (по вектору n), перемещаемся в вершину С получаем оптимальное значение z. Вершина С- это точка пересечения прямых L1 и L3. Находим координаты точки С из системы: 2х1 +2х2 ≤ 20 2х1 +6х2 ≤ 36
по методу Крамера находим Δ, ΔX1 и ΔX2.
Сначала строим матрицу по левой части уравнения и находим:
Затем в основной матрице столбец (с Х1) заменяем на данные правой части уравнения и находим:
После в основной матрице столбец (с Х2) заменяем на данные правой части уравнения и находим:
Получаем координаты т.С– при которой достигается оптимальное значение.
X1 = ΔX1/ Δ = 48/8 = 6 X2 = ΔX2/ Δ = 32/8 = 4
Для графического определения координаты т.С, необходимо опустить перпендикуляры на оси X1 и X2.
Координаты т.С: (точка opt) – при которой достигается оптимальное значение. х1 = 6 х2 = 4
При этих значениях функция будет равна: Z= 7х1 +3х2 = 54
Для решения задачи симплекс-методом приведем систему неравенств
2х1 +2х2 ≤ 20 х1 +х2 ≤ 10 2х1 +6х2 ≤ 36 х1 +х2 ≥ 2 х1;х2 ≥ 0
к форме равенств с помощью неотрицательных дополнительных переменных Yi(i=1;2;3;4): 2х1 +2х2 +y1 = 20 х1 +х2 +y2 = 10 2х1 +6х2+y3 = 36 -х1 -х2 + y4= -2 -7х1 -3х2+Z = 0 При этом Xj≥0 (j=1;2); Yi ≥0 (i=1;2;3;4).
Для решения задачи запишем систему с помощью полных симплекс таблиц (Таблица 1):
1) выбираем строку с отрицательным свободным элементом (Sy6) –«-2» 2) выбираем отрицательный свободный элемент-«-1» в столбце (Х1)- «разрешающий столбец» 3) свободные члены столбца вi делим на соответствующие элементы разрешающего столбца (X1), и наименьшее положительное число будет соответствовать разрешающей строке – «Sy6» 4) на пересечении находится разрешающий элемент – «-1». Таблицу №2 заполняем по правилу: 1) на месте разрешающего элемента стоит величина ему обратная 2) элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент 3) элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и знак меняется 4) остальные элементы новой таблицы находятся по формуле прямоугольника: новый элемент=старый элемент -(соотв.элемент разреш.строки*соотв.элемент разреш.столбца) /(разрешающий элемент).
Таблица 2;3; – избавляемся от отрицательных чисел в строке Z, по отрицательному числу определяется разрешающий столбец, а далее см. описание выше.
Оптимальный план производства продукции (т.С(6;4)); Оптимальная прибыль Z=54 Остатки каждого вида сырья (0;8;0)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|