Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
Задача 14 Найти производные первого порядка заданных функций: 14.1.
14.2. , 14.3. 14.4. 14.5. 14.6. 14.7. 14.8. 14.9.
14.10.
Задача 15 Найти для заданных функций: 15.1. 15.2. 15.3. 15.4. 15.5. 15.6. 15.7. 15.8. 15.9. 15.10. Задача 16
Используя геометрический или физический смысл производной, решить задачу: 16.1. а) В какой точке касательная к параболе у = – х 2 + 7 х – 10перпендикулярна прямой х + у -1 = 0? Составить уравнение касательной. Сделать чертеж. б) Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за время Т = 8 сек. Найти угловую скорость w в момент t = 32 сек после начала движения.
16.2. а) При каком значении независимой переменной касательные к кривым у = х 2 и у = х 3 параллельны? Найти уравнения этих касательных. Сделать чертеж. б) Тело массой т = 4 двигается прямолинейно по закону X = t2+ t+ 1. Определить кинетическую энергию тела в момент времени t = 5. 16.3. а) Под каким углом график функции у = пересекает прямую х = 2. б) Радиус шара изменяется со скоростью v. С какой скоростью изменяется объем и поверхность шара? 16.4. а) Под каким углом пересекаются кривые х 2 – у 2 = 5и ? Указание: под углом между кривыми понимают угол между касательными к этим кривым в точке их пересечения. б) Угол j, на который поворачивается колесо за t сек., равен j , где - положительные константы. Найти угловую скорость w движения колеса. Через сколько времени от начала движения угловая скорость будет равна нулю? 16.5. а) Показать, что отрезок касательной к астроиде , заключенный между осями координат, имеет постоянную длину, равную . б) В какой точке эллипса 16 х2 + 9 у 2 = 400 ордината убывает с той же скоростью, с какой возрастает абсцисса?
16.6. а) Какой угол образует с прямой у = 2 х - 3 касательная к параболе у = х 2 - 3 х+ 5, проведенная в точке (2, 3)? Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж. б) Барометрическое давление Ризменяется с высотой h по закону , где Р0 - нормальное давление, с – некоторая постоянная. На высоте 5540 м давление равно половине нормального. Установите зависимость скорости изменения давления от высоты.
16.7. а) Найти уравнение касательной и нормали в точке (2; 2) к кривой, заданной параметрически уравнениями . б) По оси абсцисс двигаются две точки, имеющие законы движения х= 100 +5t и х = 0,5 t, где t >0. С какой скоростью удаляются точки друг от друга в момент встречи?
16.8. а) Найти уравнение касательной к кривой у = х 2 + 2 х - 1 в точке её пересечения с параболой у = 2 х 2. Сделать чертеж. б) Показать, что если тело движется по закону S = a e-t + b e-t , то его ускорение численно равно пройденному пути.
16.9. а) Найти координаты точки, в которой касательная к параболе у= х 2 + 3 х - 10образует угол 1350 с положительным направлением оси ОХ. Найти уравнение этой касательной. Сделать чертеж. б) Точка двигается прямолинейно по закону s = t 3 - 16 t 2 + 64 t. Определить: 1) в какие моменты времени точка находилась в начале координат; 2) в какие моменты времени её скорость была равна нулю? 16.10. а) Написать уравнение касательной к кривой в точке (- , 0). б) Точка двигается по гиперболе так, что ее абсцисса растет равномерно со скоростью 1 единица в секунду. С какой скоростью изменяется ее ордината, когда точка проходит положение (5;2)?
Задача 17 Исследовать функцию и построить ее график:
Функции нескольких переменных Задача 18. Найти область определения функции. Сделать чертеж. 18.1. а) ; б) . 18.2.. а) ; б) . 18.3.. а) ; б) . 18.4. а) ; б) . 18.5. а) ; б) . 18.6. а) ; б) . 18.7. а) ; б) . 18.8. а) ; б) .
18.9. а) ; б) 18.10. а) ; б) .
Задача 19. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению. 19.1 , . 19.2 , . 19.3 , . 19.4 , . 19.5 , . 19.6 , . 19.7 , . 19.8. , . 19.9 , . 19.10. , Задача 20. Линеаризовать функцию в окрестности точки . 20.1. . 20.2. . 20.3. . 20.4. . 20.5. . 20.6. 20.7. . 20.8. . 20.9. . 30.10. .
Задача 21. Для функции найти: а) производную в точке в направлении вектора ; б) градиент в точке и наибольшую скорость изменения функции в этой точке. 21.1. . 21.2. . 21.3. . 21.4.. . 21.5. . 21.6. . 21.7. . 21.8. . 21.9. . 21.0. . Задача 22. Найти экстремум функции . 22.1. . 22.2. . 22.3. . 22.4. . 22.5. . 22.6. . 22.7. . 22.8. . 22.9. . 22.10. . Задача 23. Методом наименьших квадратов найти функцию y = f (x) в виде y = ax + b (в нечетных номерах) и y = ax 2 + b (в четных номерах). Экспериментально полученные п значений искомой функции y = f (x) при п значениях аргумента приведены в таблице. 23.1. 23.2. 23.3. 23.4. 23.5. 23.6. 23.7. 23.8. 23.9. 23.10.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|