Интегрирование дифференциального бинома. Теорема Чебышева.
Первообразная. Неопределенный интеграл; его основные свойства.
· Первообразная Первообразной функции f на промежутке I называется функция F, такая, что
· Неопределенный интеграл где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.
Основные свойства 1. ∫(f(x)d =f(x), d∫f(x)dx=f(x)dx 2. ∫F′(x)dx=F(x)+C, ∫dF(x)=F(x)+C 3. Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(ax+b)dx= F(ax+b)+C, a≠0 4. ∫(af(x)+ßg(x))dx=a∫f(x)dx+ß∫g(x)dx, ≠0
Таблица интегралов. Простейшие приемы интегрирования (подведение под знак дифференциала) Метод подведения под знак дифференциала основан на равенстве То есть, главной задачей является приведение подынтегральную функцию к виду ‼таблица интегралов
‼Простейшие приемы интегрирования Интегрирование по частям. Пусть u (x) и v (x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой Проинтегрировав обе части этого выражения, получим или, переставляя члены, Эта формула применяется в случае, когда подынтегральная функция представляет произведение алгебраической и трансцендентной функции. Примеры:
Замена переменной в неопределенном интеграле. Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:
Интегрирование рациональных дробей. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение; -Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений; -Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов; -Вычислить интегралы от простейших дробей. Интегрирование функций, содержащих дробные иррациональности Для интегрирования иррациональной функции, содержащей используется подстановка u= . Чтобы проинтегрировать иррациональную функцию, содержащую несколько рациональных степеней x, применяется подстановка в форме u= , где n полагается равным наименьшему общему кратному знаменателей всех дробных степеней, входящих в данную функцию. Рациональная функция x под знаком корня n-ой степени, т.е. выражение вида , интегрируется с помощью подстановки u=
Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции (универсальная тригонометрическая подстановка). При интегрировании выражений вида ∫R(cos x;sin x) dx обычно используют следующие подстановки: а) если R(- cos x;sin x) = -R(cos x;sin x), то t = sin x; б) если R(cos x; - sin x) = -R(cos x;sin x), то t = cos x; в) если R(- cos x; - sin x) = R(cos x;sin x), то t = tg x Подстановки Эйлера. (Интегрирование рационального выражения от корня из квадратного трехчлена.) Подстановки Эйлера — приводящие интегралы вида , где — иррациональная функция, к интегралам от рациональных функций. Первая подстановка Используется тогда, когда a>0. Производится замена: Вторая подстановка Используется тогда, когда с>0. Производится замена: Третья подстановка Используется тогда, когда подкоренное выражение имеет два действительных корня. Производится замена:
Интегрирование дифференциального бинома. Теорема Чебышева.
Интегрирование диф. бинома (теорема Чебышёва) Интеграл ∫ dx, где m, n, p є Q, можно привести к интегрированию рациональных функций в следующих случаях: 1) p є Z: замена x = , где N — общий знаменатель m и n; 2) є Z: замена a + b , где N — знаменатель p; 3) є Z: замена a +b= , где N — знаменатель p
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|