Что важно в оформлении решения?
Практикум по математическому анализу Тема 5. Понятие предела функции. Пределы с неопределенностью вида , и методы их решений. Понятие предела функции Пример: Запись читается как «предел функции при икс, стремящемся к бесконечности». Что значит ? Это случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности. Что в это время происходит с функцией ? Таким образом, если, то функциястремится к минус бесконечности: Правило: когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число (бесконечность) в функцию. Примеры: (их необходимо осознать и запомнить) ,, Пределы с неопределенностью видаи метод их решения Пример: Вычислить предел Согласно правилу, подставить бесконечность в функцию. В числителе получается бесконечность, в знаменателе - также бесконечность. Таким образом, получилась так называемая неопределенность вида . Как решать пределы данного типа? Сначала смотрим на числитель и находим в старшей степени: Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени: Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Д ля того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени. Что важно в оформлении решения? Во-первых, указать неопределенность, если она есть. Во-вторых, в пределе помечать, что и куда стремится. Это удобнее сделать так:
Пример Найти предел
В числителе и знаменателе найти в старшей степени:
Разделим числитель и знаменатель на Пример Найти предел
Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Для раскрытия неопределенности необходимо разделить числитель и знаменатель на . Разделим числитель и знаменатель на Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя!!!), а деление на бесконечно малое число. Таким образом, при раскрытии неопределенности вида у нас может получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью видаи метод их решения Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу. Пример 4 Решить предел
Сначала попробуем подставить -1 в дробь: Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия необходимо разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Итак, решаем предел Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Далее находим корни: Таким образом: Знаменатель уже является простейшим множителем, и упростить его никак нельзя. Можно сократить на : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела:
Пример Вычислить предел
Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. ! Важно
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|