Спецкурс: Качественные методы нелинейного анализа динамических и управляемых систем. Специальные задачи.
И.Н. Барабанов
1. Постановка задачи Брокетта. Линейные неавтономные периодические системы с кусочно непрерывной правой частью. Фазовый поток. 2. Линейное пространство решений системы линейных уравнений, изоморфизм с пространством Rn. Фундаментальная система решений и фундаментальная матрица. Отображение и матрица монодромии. 3. Устойчивость неподвижной точки линейного отображения. Теорема об эквивалентности асимптотической устойчивости неподвижной точки отображения монодромии и нулевого положения равновесия линейной системы. 4. Матричные нормы. Критерий асимптотической устойчивости неподвижной точки линейного отображения. Примеры линейных отображений на плоскости: эллиптическое и гиперболическое отображения. 5. Низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия математического маятника. 6. Общий случай низкочастотной стабилизации линейных систем. Достаточные условия. 7. Достаточные условия неустойчивости. Низкочастотная стабилизация двумерных систем с одним входом и одним выходом. 8. Принципы построения и задачи спутниковой навигации. 9. Решение stand-alone задачи спутниковой навигации по однократным измерениям. Фазовые измерения и дифференциальная навигация. 10. Нестационарные периодические системы. Уравнения в вариациях и их свойства. Мультипликаторы и характеристические числа линейных периодических систем. Теорема Флоке. 11. Приведение линейной периодической системы к системе с постоянными коэффициентами. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению для периодических систем. Теорема Четаева о неустойчивости для нестационарных систем. 12. Периодические движения нелинейных автономных систем. Теорема Андронова – Витта.
13. Нелинейные периодические системы с малыми периодическими возмущениями. Существование периодических решений в окрестности изолированного периодического решения порождающей системы. Теорема Пуанкаре. 14. Условия существования периодических решений в окрестности неизолированных решений порождающей системы. 15. Построение периодического решения в аналитическом случае и исследование его устойчивости.
Литература.
Вопросы к экзамену
1. Асимптотическая устойчивость неподвижной точки линейного отображения. 2. Решение stand-alone задачи спутниковой навигации по однократным измерениям. 3. Приведение линейной периодической системы к системе с постоянными коэффициентами. 4. Нелинейные периодические системы с малыми периодическими возмущениями. Существование периодических решений в окрестности изолированного периодического решения порождающей системы. Теорема Пуанкаре. 5. Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению для периодических систем. 6. Теорема Флоке о фундаментальной матрице линейной периодической системы. 7. Свойства уравнения в вариациях. 8. Низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия математического маятника. 9. Теорема об эквивалентности асимптотической устойчивости неподвижной точки отображения монодромии и нулевого положения равновесия линейной системы.
10. Изоморфизм пространства решений линейной системы и фазового пространства. 11. Достаточное условие неустойчивости линейных систем.
Примеры задач:
1. Матрица монодромии некоторой линейной системы с периодическими коэффициентами равна Исследовать устойчивость нулевого положения равновесия этой системы.
2. Задана система Является ли положение равновесия асимптотически устойчивым?
3. Задана двумерная автономная система, – ее периодическое решение. Для составлены уравнения в вариациях. Матрица монодромии при этом оказалась равной Будет ли решение устойчивым?
4. Матрица является матрицей монодромии для некоторой линейной системы с периодическими коэффициентами. Существует ли у этой системы периодическое решение?
5. Задано линейное отображение , где матрица отображения задается как Исследовать устойчивость неподвижной точки.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|