Эллиптический и гиперболический параболоиды.
Определение 13.7 Эллиптическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид
где и -- положительные числа. Исследуем форму эллиптического параболоида. Он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось . Для построения эллиптического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Координаты только одной точки плоскости могут удовлетворять данному уравнению, а именно, начала координат. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Это уравнение параболы на плоскости . Построим ее (рис. 13.19). Сечение плоскостью также является параболой. Нарисуем и ее (рис. 13.19). Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью . Уравнения этой линии Очевидно, что только одна точка (начало координат) удовлетворяет этим уравнениям, если . Эта точка называется вершиной параболоида. Пусть . Первое уравнение преобразуем к виду то есть к виду
где , . Уравнение (13.14) является уравнением эллипса. Нарисуем полученное сечение (рис. 13.19). При плоскость поверхность не пересекает. Рис.13.19.Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями Найдем сечения параболоида плоскостями , параллельными плоскости . Линии этих сечений удовлетворяют уравнениям и являются параболами, такими же, как в плоскости , только сдвинутыми вверх на величину , их вершины при таком сдвиге лежат на параболе, получившейся в сечении плоскостью (рис. 13.20). Рис.13.20.Дополнительные сечения параболоида
Следовательно, вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Парабола должна двигаться так, чтобы ее плоскость была параллельна плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости . Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.21.
Рис.13.21.Эллиптический параболоид Если в уравнении (13.13) , то сечения плоскостями, параллельными плоскости , являются окружностями. В этом случае поверхность называется параболоидом вращения и может быть образована вращением параболы, лежащей в плоскости , вокруг оси (рис. 13.22).
Рис.13.22.Параболоид вращения Определение 13.8 Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой в некоторой декартовой системе координат имеет вид
где и -- положительные числа. Исследуем форму гиперболического параболоида. Так же, как и эллиптический параболоид, он имеет две плоскости симметрии и ось симметрии. Ими являются соответственно координатные плоскости , и координатная ось . Для построения гиперболического параболоида найдем его сечения различными плоскостями. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Это уравнение определяет на плоскости пару прямых , изображенных на рисунке 13.23. Найдем линию пересечения с плоскостью . На этой плоскости , поэтому Это уравнение на плоскости задает параболу, ветви которой направлены вниз. Построим ее (рис. 13.23). Сечение плоскостью также является параболой но ее ветви направлены вверх. Нарисуем и ее (рис. 13.23).
Рис.13.23.Сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями Найдем линии пересечения поверхности с плоскостью , . Уравнения этой линии Первое уравнение преобразуем к виду то есть к виду
где , . Уравнение (13.16) является уравнением гиперболы. Ее действительная ось параллельна оси , а мнимая -- оси . Полуоси равны соответственно и . Нарисуем полученное сечение, но чтобы не перегружать рисунок линиями, асимптоты изображать не будем (рис. 13.24).
Найдем линии пересечения с плоскостями , параллельными плоскости . Уравнения этих линий Первое из этих уравнений является уравнением параболы, такой же, как и в сечении плоскостью , только сдвинутой вдоль оси на величину вверх. Эти параболы изображены на рисунке 13.24.
Рис.13.24.Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений Так как -- произвольное число, то вся поверхность может быть получена движением параболы, лежащей в плоскости . Передвигать параболу нужно так, чтобы ее плоскость оставалась параллельной плоскости , а вершина скользила по параболе в плоскости . Плоскость , , пересекает поверхность по гиперболе, но в отличие от гиперболы (13.16), ее действительная ось параллельна теперь оси , а мнимая -- оси (рис. 13.25).
Рис.13.25.Дополнительное сечение Привычное для глаза изображение приведено на рисунке 13.26.
Рис.13.26.Гиперболический параболоид
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|