Предел и непрерывность функции
Стр 1 из 4Следующая ⇒ Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Филиал Санкт-Петербургского государственного морского Технического университета СЕВМАШВТУЗ
Аксенова Н.М. Минин М.В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Учебное пособие
Северодвинск УДК 512
Аксенова Н.М., Минин М.В. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной: Учебное пособие. – Северодвинск: РИО Севмашвтуза, 2006. – 50 с.
Ответственный редактор доцент Н.М. Аксенова
Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент кафедры Математики Севмашвтуза Н.Д. Самышкина; зав. кафедрой Экономики и финансов филиала СЗАГС, к.т.н., доцент Н.И. Черенков.
Учебное пособие предназначено для студентов заочной формы обучения специальности 080502 «Экономика», изучающих курс высшей математики. Пособие рассчитано на второй семестр обучения, включает в себя теоретический и практический материал по дифференциальному и интегральному исчислению функции одной переменной. В учебное пособие входит две контрольные работы, задачи с решениями для успешного усвоения изложенного материала.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................. 4 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 5 1.1. Основные понятия...................................................................................... 5 1.2. Предел и непрерывность функции............................................................ 5 1.3. Производная............................................................................................ 11 1.4. Дифференциал функции........................................................................... 13
1.5. Производные высших порядков............................................................. 16 1.6. Формула Лагранжа.................................................................................. 16 1.7. Необходимые и достаточные условия экстремума функции................. 17 1.8. Выпуклость и вогнутость функции......................................................... 19 1.9. Асимптоты графика функции.................................................................. 21 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 23 2.1. Неопределенный интеграл....................................................................... 23 2.2. Замена переменной в неопределенном интеграле.................................. 25 2.3. Формула интегрирования по частям...................................................... 26 2.4. Определенный интеграл.......................................................................... 28 2.5. Определенный интеграл как функция верхнего предела....................... 30 2.6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами......................... 33 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3............................................................................ 34 Пример выполнения задания:............................................................................ 39 КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4............................................................................ 43 Пример выполнения задания:............................................................................ 47 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.................................................................................... 49 ВВЕДЕНИЕ Учебное пособие курса «Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной» составлено для студентов заочной формы обучения специальности 080502 «Экономика» (II семестр). Настоящее пособие разработано в соответствии с требованиями Государственного стандарта Министерства образования РФ 2000 года подготовки специалистов специальности экономист-менеджер. Издание данного учебного пособия вызвано необходимостью систематизации теоретического и практического материала и так же особенностью обучения по заочной форме. Студентам удобнее и проще разобраться в учебном пособии, в котором сконцентрированы основные понятия, определения, методы и приемы решения типовых задач.
Учебное пособие содержит контрольные работы №3 и №4 (30 вариантов). Приведены примеры подробного решения каждой контрольной работы. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Основные понятия Пусть D — некоторое множество чисел. Если задан закон, по которому каждому числу x из множества D ставится в соответствие единственное определенное число y, то будем говорить, что на множестве D задана функция, которую назовём f. Число y — это значение функции f в точке x, что обозначается формулой y = f(x). Число x называется аргументом функции, множество D — областью определения функции, а все значения y образуют множество E, которое называется множеством значений или областью изменения функции. Функция f называется возрастающей (убывающей) на множестве G, если для любых чисел х 1 и х 2 из множества G, таких что x 1 < x 2, выполняется условие f (x 1) < f (x 2) (f (x 1) > f (x 2)). Так как между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси можно установить взаимно-однозначное соответствие, в дальнейшем изложении понятиям “число х ”и “точка х числовой оси” в некоторых случаях будет придаваться один и тот же смысл. Например, вместо “значение функции при значении аргумента, равном х 1” будет говориться “значение функции в точке х 1”. В нижеследующем определении можно везде заменить выражение “точка х ” на выражение “число х ”. Пусть e — некоторое положительное число. e -окрестностью точки x 0 называется множество всех точек x, принадлежащих промежутку (x 0 ‑ e, x 0 + e). Принадлежность точки x e ‑ окрестности точки можно выразить с помощью двойного неравенства . Число eназывается радиусом окрестности. Предел и непрерывность функции Рассмотрим функцию y = x 2 в точке x 0 = 2. Значение функции в этой точке равно 4. Отметим одну особенность поведения функции в этой точке. Можно выбрать какое-либо положительное число eи построить e - окрестность точки y 0 = 4. Очевидно, что найдется такая окрестность точки x 0 = 2 (на рисунке 1 эта окрестность имеет радиус d), что если x будет лежать в этой окрестности, то соответствующее значение y, равное x 2, попадет в e - окрестность точки y 0 = 4. Это заключение справедливо для любого, сколь угодно малого числа e. Здесь точка x 0 = 2 выбрана произвольно. Можно было бы для данной функции выбрать любую другую точку и сделать подобное заключение.
Рассмотрим функцию . Эта функция не определена в точке x 0 = 2. При x 0 ¹ 2 её можно преобразовать: . График функции представлен на рисунке 2. Хотя исходная функция не определена в точке x 0 = 2 и естественно не равна 3 в этой точке, точка y 0 = 3 имеет характерную особенность. Выбрав положительное число e, можно утверждать, что если рассматривать значения x, расположенные достаточно близко к точке x 0 = 2 (или лежащие в некоторой окрестности точки x 0 = 2, причем радиус этой окрестности зависит от e), то соответствующие значения y попадут в e-окрестность точки y 0 = 3. Всё сказанное остаётся справедливым независимо от того, насколько малым выбрано положительное число e. Введем понятие предела функции. Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x 0 (иногда говорят, при x, стремящемся к x 0), если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x из d - окрестности точки x 0, за исключением самой точки x 0 соответствующие значения y попадают в e - окрестность точки y = A. Можно сформулировать определение предела функции по-другому. Число A называется пределом функции y = f (x) в точке x 0, если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число d, что для всех x, удовлетворяющих условию 0 < ê x – x 0ê < d, выполняется условие ê y – A ê < e. Тот факт, что A есть предел функции y = f (x) в точке x = x 0, записывается так: . Как видно из второго из рассмотренных выше примеров, для того, чтобы функция имела предел в точке x = x 0, не требуется, чтобы она была определена в этой точке. Рассмотрим функцию . Очевидно, что если x > 0, то y = 2 x; если x < 0, то y = – 2 x; при x = 0 функция не определена. График функции изображен на рисунке 3. Легко убедиться в том, что, согласно приведенному выше определению предела, эта функция в точке x = 0 предела не имеет. Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x = x 0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и ее значение f (x 0) равно пределу функции в этой точке: .
Функция y = x 2 непрерывна в точке x = 2, как и во всех точках числовой оси. Функция не является непрерывной в точке x = 2. Функция не является непрерывной в точке x = 0. Функция, непрерывная в каждой точке открытого промежутка, называется непрерывной на этом промежутке. Приведем свойства предела функции. 1. Функция не может иметь в одной точке два разных предела. 2. , если C — постоянная функция. 3. Если существует и C — постоянная функция, то . 4. Если существуют и , то существует , равный , а также существует , равный . Если при этом , то существует , равный . Введем определения так называемых “односторонних пределов”. Число B называется пределом функции f (x) в точке a справа (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d, такое что из из условия 0 < x – a < d будет следовать . Согласно приведенному определению . Отметим, что обычного предела функция в точке x = 0 не имеет. Число С называется пределом функции f (x) в точке b слева (это записывается в виде формулы ), если для любого положительного числа e найдется положительное число d такое, что из условия 0 < b – x < d будет следовать ê C – f (x)ê < e. Очевидно, что функция (её график, изображен на рисунке 3) имеет два односторонних предела в точке x = 0: ; . Функция f (x) называется непрерывной в точке a справа (непрерывной в точке b слева), если (). Функция непрерывна справа в точке x =0. Функция называется непрерывной на замкнутом промежутке [ a, b ], если она непрерывна на открытом промежутке (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b. Достаточно просто можно доказать теорему, связывающую понятия предела функции в точке и односторонних пределов. Мы ограничимся только формулировкой теоремы. Для того, чтобы выполнялось равенство , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два равенства: ; В дальнейшем нам понадобятся понятия предела функции в бесконечно удалённых точках. Рассмотрим сначала функцию f (x), определенную на полубесконечном промежутке . Число А называется пределом функции f (x) при х, стремящемся к плюс бесконечности: , если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), ч то для всех чисел х, превосходящих М, выполняется условие: ½ f (x) – A ½ < e. Пусть теперь функция f (x) определена на полубесконечном промежутке , если для любого положительного числа e можно найти такое положительное число M (зависящее от e), ч то для всех чисел х, меньших, чем – М, выполняется условие:
½ f (x) – A ½ < e. Отметим два, так называемых, "замечательных предела". 1. . Геометрический смысл этой формулы заключается в том, что прямая является касательной к графику функции в точке . 2. . Здесь e — иррациональное число, приблизительно равное 2,72. Приведем пример применения понятия предела функции в экономических расчетах. Рассмотрим обыкновенную финансовую сделку: предоставление в долг суммы S 0 с условием, что через период времени T будет возвращена сумма ST. Определим величину r относительного роста формулой . (1) Относительный рост можно выразить в процентах, умножив полученное значение r на 100. Из формулы (1) легко определить величину ST: ST = S 0(1 + r) При расчете по долгосрочным кредитам, охватывающим несколько полных лет, используют схему сложных процентов. Она состоит в том, что если за 1-й год сумма S 0 возрастает в (1 + r) раз, то за второй год в (1 + r) раз возрастает сумма S 1 = S 0(1 + r), то есть S 2 = S 0(1 + r)2. Аналогично получается S 3 = S 0(1 + r)3. Из приведенных примеров можно вывести общую формулу для вычисления роста суммы за n лет при расчете по схеме сложных процентов: Sn = S 0(1 + r) n. В финансовых расчетах применяются схемы, где начисление сложных процентов производится несколько раз в году. При этом оговариваются годовая ставка r и количество начислений за год k. Как правило, начисления производятся через равные промежутки времени, то есть длина каждого промежутка Tk составляет часть года. Тогда для срока в T лет (здесь T не обязательно является целым числом) сумма ST рассчитывается по формуле (2) Здесь — целая часть числа , равная ближайшему к наименьшему целому числу. Пусть годовая ставка равна r и производится n начислений в год через равные промежутки времени. Тогда за год сумма S 0 наращивается до величины, определяемой формулой (3) В теоретическом анализе и в практике финансовой деятельности часто встречается понятие “непрерывно начисляемый процент”. Чтобы перейти к непрерывно начисляемому проценту, нужно в формулах (2) и (3) неограниченно увеличивать соответственно, числа k и n (то есть устремить k и n к бесконечности) и вычислить, к какому пределу будут стремиться функции ST и S 1. Применим эту процедуру к формуле (3): . Заметим, что предел в фигурных скобках совпадает со вторым замечательным пределом. Отсюда следует, что при годовой ставке r при непрерывно начисляемом проценте сумма S 0 за 1 год наращивается до величины S 1*, которая определяется из формулы . (4) Пусть теперь сумма S 0 предоставляется в долг с начислением процента n раз в год через равные промежутки времени. Обозначим re годовую ставку, при которой в конце года сумма S 0 наращивается до величины S 1* из формулы (4). В этом случае будем говорить, что re — это годовая ставка при начислении процента n раз в год, эквивалентная годовому проценту r при непрерывном начислении. Из формулы (3) получаем . Приравнивая правые части последней формулы и формулы (4), полагая в последней T = 1, можно вывести соотношения между величинами r и re: , . Эти формулы широко используются в финансовых расчётах. Производная Рассмотрим функцию y=f (x), непрерывную в некоторой окрестности точки x. Пусть D x приращение аргумента в точке x. Обозначим через Dy или D f приращение функции, равное f (x +D x) – f (x). Отметим здесь, что функция непрерывна в точке x, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента D x соответствует бесконечно малое приращение функции D f. Отношение D f /D x, как видно из рисунка 4, равно тангенсу угла a, который составляет секущая MN кривой y = f (x) c положительным направлением горизонтальной оси координат. Представим себе процесс, в котором величина D x, неограниченно уменьшаясь, стремится к нулю. При этом точка N будет двигаться вдоль кривой y = f (x), приближаясь к точке M, а секущая MN будет вращаться около точки M так, что при очень малых величинах D x её угол наклона a будет сколь угодно близок к углу j наклона касательной к кривой в точке x. Следует отметить, что все сказанное относится к случаю, когда график функции y = f (x) не имеет излома или разрыва в точке x, то есть в этой точке можно провести касательную к графику функции. Отношение D y / D x или, что то же самое (f (x + D x) f (x)) / D x, можно рассматривать при заданном x как функцию аргумента D x. Эта функция не определена в точке D x = 0. Однако её предел в этой точке может существовать. Если существует предел отношения (f (x + D x) – f (x)) / D x в точке D x = 0, то он называется производной функции y = f (x)в точке x и обозначается y¢ или f¢ (x): . Нахождение производной функции y = f (x)называется дифференцированием. Если для любого числа x из открытого промежутка (a, b) можно вычислить f¢ (x), то функция f (x) называется дифференцируемой на промежутке (a, b). Геометрический смысл производной заключается в том, что производная функции f (x)в точке x равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Производная это скорость изменения функции в точке x. Из определения производной следует, что f¢ (x)» D f / D x, причем точность этого приближенного равенства тем выше, чем меньше D x. Производная f¢ (x) является приближенным коэффициентом пропорциональности между D f и D x. Производная функции f (x) не существует в тех точках, в которых функция не является непрерывной. В то же время функция может быть непрерывной в точке x 0, но не иметь в этой точке производной. Такую точку назовём угловой точкой графика функции или точкой излома. Графические примеры приведены на рисунке 5.
Так функция y = ê x ê не имеет производной в точке x = 0, хотя является непрерывной в этой точке. Ниже приводится таблица производных элементарных функций.
Приведем теперь основные свойства производной. 1. Если функция имеет производную в точке, то она непрерывна в этой точке. 2. Если существует f¢ (x), и С ‑ произвольное число, то функция имеет производную: (Cf (x)) ¢ = Cf¢ (x). 3. Если существуют f¢ (x)и g¢ (x), то функция S (x) = f (x) + g (x) имеет производную: S¢ (x) = f¢ (x) + g¢ (x). 4. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x), то функция P (x) = f (x) g (x) имеет производную: P¢ (x) = f¢ (x) g (x) + f (x) g¢ (x). 5. Если существуют f¢ (x) и g¢ (x) и при этом g (x) ¹ 0, то функция D (x) = f (x) / g (x) имеет производную: D¢ (x) = (f¢ (x) g (x) f (x) g¢ (x)) / g 2(x). В любом курсе математического анализа доказывается теорема о производной сложной функции. Мы ограничимся лишь ее формулировкой. Пусть функция g (x) имеет производную в точке x, а функция f (z) имеет производную в точке z = g (x). Тогда сложная функция F (x) = f (g(x))имеет в точке x производную F¢ (x) = f¢ (z) g ¢ (x). Приведем примеры вычисления производной сложной функции. Дифференциал функции Рассмотрим две функции: y 1 = f 1(x) и y 2 = f 2(x), которые имеют производные f 1 ¢ (x) и f 2 ¢ (x) в каждой точке некоторой области D. Возьмем какую-либо точку x из области D и дадим аргументу приращение D x. Тогда функции получат соответственно приращения D y 1 = f 1(x + D x) f 1(x) и D y 2 = f 2(x + D x) f 2(x). Из графиков, изображенных на рисунке 6, видно, что в обоих случаях приращения D y 1 и D y 2 можно представить в виде сумм двух слагаемых: D y 1 = (C 1 - A 1) + (B 1 - C 1); D y 2 = (C 2 - A 2) + (B 2 - C 2) (5) Рис. 6 Первые слагаемые в правых частях обоих выражений (5) легко вычисляются из сходных формул: C 1 – A 1 = tg a 1 D x = f 1 ¢ (x)D x; C 2 – A 2 = tg a 2 D x = f 2 ¢ (x)D x. Величина f¢ (x) D x называется главной частью приращения функции y = f (x) в точке x. (Здесь мы говорим только о функции, имеющей в точке x производную). Главная часть приращения функции линейна относительно приращения аргумента D x (можно сказать – пропорциональна приращению D x). Это означает, что если приращение аргумента D x уменьшить в k раз, то и главная часть приращения функции уменьшится в k раз. Формулы (5) можно переписать в виде: D y 1 = f 1 ¢ D x + r 1; Dy 2 = f 2 ¢ D x + r 2. (6) Здесь r 1 = B 1 – C 1; r 2= B 2– C 2. Величины r 1 и r 2 в формулах (6) при уменьшении D x в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 6 и 7, и говорят, что r 1 и r 2 стремятся к нулю быстрее, чем D x. Рис. 7 Назовем функцию бесконечно малой в точке z = z 0, если . Пусть функции и являются бесконечно малыми в точке z = z 0. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция , если . Величины r 1 и r 2 в формулах (2) являются функциями аргумента D x, бесконечно малыми в точке D x = 0. Можно показать, что . Это означает, что функции r 1(D x) и r 2(D x) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем D x, в точке D x = 0. Таким образом приращение функции y = f (x)в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде D y = f¢ (x) D x +b (D x), где b (D x) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем D x, в точке D x = 0. Главная, линейная относительно D x,часть приращения функции y = f (x), равная f¢ (x) D x, называется дифференциалом и обозначается dy: dy = f¢ (x) D x. (7) Если сюда подставить функцию f (x) = x, то, так как x¢ = 1, формула (7) примет вид: dx = D x. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y = x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y = x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (7) можно переписать так dy = f¢ (x) dx. Отсюда следует, что , то есть производная функции f (x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x. Очевидны следующие свойства дифференциала. 1. (здесь и в следующей формуле C постоянная); 2. ; 3. Если существуют df (x) и dg (x), то d (f (x) + g (x)) = df (x) + dg (x), . Если при этом g (x) ¹0, то Пусть y = f (x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy = df (x) = f¢ (x) dx. Если аргумент x является функцией x (t) некоторой независимой переменной t, то y = F (t) = f (x (t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле . Однако по определению дифференциала x¢ (t) dt = dx и последняя формула преобразуется к виду: dy = f¢ (x) dx. Таким образом если аргумент функции y=f (x)рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство D x = dx не выполняется, формула дифференциала функции f (x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|