Функции нескольких переменных
Понятие дифференциала Пусть функция y = f (x) дифференцируема при некотором значении переменной x. Следовательно, в точке x существует конечная производная Тогда по определению предела функции разность (1) является бесконечно малой величиной при . Выразив из равенства (1) приращение функции, получим (2) (величина не зависит от , т. е. остаётся постоянной при ). Если , то в правой части равенства (2) первое слагаемое линейно относительно . Поэтому при оно является бесконечно малой того же порядка малости, что и . Второе слагаемое - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем первое, так как их отношение стремится к нулю при Поэтому говорят, что первое слагаемое формулы (2) является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. Поэтому при малых значениях (и при ) приращение функции можно приближенно заменить его главной частью , т.е. (3) Эту главную часть приращения функции называют дифференциалом данной функции в точке x и обозначают или Следовательно, (4) или (5) Итак, дифференциал функции y = f (x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной. Замечание. Нужно помнить, что если x – исходное значение аргумента, - наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x; в формуле (5) это видно из записи, в формуле (4) – нет. Дифференциал функции можно записать в другой форме: (6) или Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции y = f (x) равен приращению ординаты касательной, проведённой к графику этой функции в точке (x; y), при изменении x на величину .
Дифференциалы высших порядков Напомним, что дифференциал функции (называемый также первым дифференциалом, или дифференциалом первого порядка) задаётся формулой Рассмотрим это выражение (при фиксированном приращении аргумента ) как функцию переменного и найдём её дифференциал : Этот дифференциал от первого дифференциала называется вторым дифференциалом от функции , или дифференциалом второго порядка. Аналогично, дифференциал от второго дифференциала называется третьим дифференциалом; он задаётся формулой Вообще, -й дифференциал , или дифференциал -го порядка, определяется как дифференциал от -го дифференциала (при постоянном приращении ); для него имеет место формула: При -й дифференциал не инвариантен (в отличие от первого дифференциала), то есть выражение зависит, вообще говоря, от того, рассматривается ли переменная как независимая, либо как некоторая промежуточная функция другого переменного, например, . Для доказательства неинвариантности дифференциалов высших порядков достаточно привести пример. Пусть и . Если -- независимая переменная, то
Если же , то , и тогда правая часть формулы (4.16) даёт: Однако при этом и Как видно, получилось не то же самое, что по формуле (4.16) с учётом зависимости . Следовательно, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариантности при замене переменной. Тем более, не инвариантны дифференциалы порядков 3 и выше. Функции нескольких переменных 1. Определение. Если каждой паре (x, y) значений двух независимых переменных из области Wставится определенное значение z, то говорят, что z есть функция двух переменных (x, y).
2. Геометрическое изображение функции двух переменных - поверхность. 3. Частное и полное приращение функции. Полное приращение функции
Частное приращение функции
Вообще, полное приращение функции не равно сумме частных приращений. Пример. z = xy.
4. Непрерывность функции нескольких переменных Предел функции. Пусть z = f (x, y) определена в некоторой окрестности A (x 0, y 0). Определение. Постоянное число b называют пределом z = f (x, y) при P (x, y) стремящемся к A, если для любого e > 0 можно указать такое значение d > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству | AP | < d, имеет место неравенство | f (x, y)- b | < e. 5. Непрерывная функция 6. Частные производные
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|