Графический способ решения матричных игр
Решение матричной игры, платежная матрица которой имеет размерность 2x2 (9.11), может быть представлено графически. В координатных осях XOY рис. 9.1 по оси абсцисс откладывается единичный отрезок, левый конец которого (точка х = 0) соответствует стратегии A1 а правый (точка х = 1) — стратегии А2.. Промежуточные точки хi соответствуют вероятностям смешанных стратегий игрока I, то есть X = (x1, x2). На осях Y и откладываются выигрыши при стратегиях А1 и А2 соответственно.
Рис. 9.1 Если игрок II принимает стратегию В1 то выигрыш игрока I при использовании чистых стратегий А1 и А составляет а11 и a21 соответственно. Соединим точки отрезком (рис. 9.1), который называется стратегией В1 игрока II. На этом же графике отмечаются значения а12 на оси Yи a22 на оси , которые соответствуют стратегии В2 игрока II. Ординаты точек отрезка соответствуют среднему выигрышу игрока I при применении им чистых стратегий А1 и А2 с соответствующими вероятностями х1 и х2. Точка пересечения отрезков и является точкой максимина (точка К рис. 9.1). Отрезок КМ соответствует цене игры, равной V, которую выигрывает игрок I. Ломанная определяет нижнюю границу игры. Пусть платежная матрица имеет вид:
Определить вероятности игроков xv х2 и, у1 у2 цену игры V; Для определения вероятности хх и х2 игрока I измеряем отрезки и ОМ, учитывая масштаб построения графика. Вероятности игрока II определяем из условий: (9.21) На рис. 9.1 указаны верхняя и нижняя цены игры и а выигрыш игрока I составляет V = КМ в соответствующем масштабе. Решение игры 2x2 Пример 9.5 Найти оптимальные стратегии игроков и цену игры, если платежная матрица С имеет размерность 2x2, то есть (9.22) Решение
1. Определяем нижнюю и верхнюю цены игры, применяя максимальную и минимаксную стратегии: Так как то седловая точка отсутствует и решение определяем в смешанных стратегиях, вычисляя вероятности соответствующих стратегий. 2. Задачу решаем графически в координатных осях XOY с позиции игрока I, откладывая значения стратегий В1 и В2 на осях Y и (рис. 9.2). Рис. 9.2 Соединим точки с ординатами 9 и 3 отрезком , а точки 4 и 6 отрезком расположенные на координатных осях Yи соответственно. Точка пересечения к этих отрезков определяет решение задачи. Проектируя точку k на координатные оси х и определяем искомые вероятности X и Y для игроков I и II. Для этого измеряем отрезки МА2 = x1, A1M = х2 и КМ = V — цена игры. Вероятности у1 и у2 определяем по формулам: 3. Составляем системы уравнений для определения вероятностей смешанных стратегий и цену игры для игроков I и II на основании платежной матрицы: (9.23) игрок I (9.24) игрок II (9.25) Решая системы (9.24) и (9.25), определяем вероятности X и Y и цену игры V: Смешанные стратегии имеют вид: или Ответ: Решение игры с матрицей 2хn Пример 9.6. В ходе деловой игры возникла конфликтная ситуация двух юридических лиц. У одного из них имеется четыре стратегии. У другого — пять. Платежная матрица имеет вид:
(9.26) Определить оптимальные стратегии игроков и цену игры. Решение 1. Находим нижнюю и верхнюю цены игры, применяя максиминную и минимаксную стратегии игроков I и II: Так как то седловой точки нет. Задачу решаем в смешанных стратегиях. Цена игры находится в пределах 2. Сокращаем размерность матрицы А, исключая дублирующую (четвертую строку — А4) и доминируемую (третью строку — А3) стратегии игрока I. Расчетная матрица С принимает вид: (9.27) 3. Находим нижнюю границу игры графическим способом в координатных осях XOY для расчетной матрицы С (9.27) (рис. 9.3). Для этого на оси абсцисс строим отрезок [0, 1], через концы которого проводим две перпендикулярные оси у и На оси у откладываем в масштабе выигрыши игрока I (стратегия А{) на оси — элементы стратегии А2, соответствующие различным сочетаниям игроков I и II, то есть рассматриваем решение с позиции игрока I, у которого две активные стратегии.
Ломанная определяет нижнюю границу игры, а точка К соответствует максиминной стратегии игрока I и указывает две активные стратегии В1 и В3 игрока II (точка К пересечение двух отрезков и рис. 9.3). Выделяя в матрице С активные стратегии В1 и В3 игрока II, получаем матрицу 2x2 в виде:
Рис. 9.3 Составляем системы для определения вероятностей x1 х2, у1 и у2 и цену игры V: игрок I (9.28) игрок II (9.29) Решая системы (9.28) и (9.29), определяем:
Ответ: Решение игры с матрицей тх2 Пример 9.7. Найти решение игры, т.е. определить оптимальные стратегии игроков I и II и цену игры V, если платежная матрица А имеет вид: Решение 1.Определяем нижнюю и верхнюю цены игры, применяя максимальную и минимальную стратегии, т.е. Седловой точки нет, и цена игры ограничена 2.Решаем задачу в смешанных стратегиях. Сокращаем размерность матрицы А, исключая дублирующую (третий столбец) В3 и доминирующую (четвертый столбец) B4 стратегии игрока II. Получаем расчетную матрицу С, размерность которой 5x2. 3.Находим верхнюю границу игры графическим способом в координатных осях YOX. Решение ведем с позиции минимаксной стратегии игрока II, у которого имеется две активные стратегии В1 и В2. 4.Определяем активные стратегии игрока I. На оси OY откладываем отрезок, равный 1, т.е. [0; 1]. Через концы этого отрезка проводим две перпендикулярные оси X и (рис. 9.4).
Рис. 9.4 На осях X и откладываем проигрыши игрока II, соответствующие каждой стратегии игрока I, и проведем отрезки Верхняя граница игры выделяется ломаной линией , что соответствует минимаксной стратегии игрока П. Точка К на ломаной соответствует минимаксному проигрышу игрока II и определяется пересечением отрезков и , что соответствует активным стратегиям игрока I. Матрица сводится к размеру 2x2, на основании которой составляются системы уравнений для определения вероятностей х1,х2, у1, у2 и V.
Матрица 2x2 имеет вид:
Решая соответствующие системы, определяем вероятность и цену игры: Ответ:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|