Геометрические и физические приложения
Стр 1 из 3Следующая ⇒ Двойной интеграл
Рассмотрим в плоскости О ху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d 1, d 2,..., dn. Выберем в каждой части точку Рi. Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f (P 1), f (P 2),…, f (Pn) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f (Pi)Δ Si: , (1) называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D. Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек Pi в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается . (2)
Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями x = a, x = b (a < b), где φ 1(х) и φ 2(х) непрерывны на [ a, b ] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла: Рис. 1 = (3)
Тройной интеграл
Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом. Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δ vi, считая объем каждой части равным Δ vi, и составим интегральную сумму вида
, (4) Предел при интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек Pi в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:
. (5) Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:
. (6)
Кратные интегралы в криволинейных координатах
Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).
Рис. 2 Рис. 3
Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М( ρ,φ ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении. Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρ cosφ, у =ρsinφ. Отсюда , tg . Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ 1(φ) и ρ=Φ 2(φ), где φ 1 < φ < φ 2, непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4). Рис. 4 Тогда (7) В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.
Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость О ху и аппликата данной точки z (рис.5).
Рис.5 Рис.6 Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, z = z. (8)
В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью О х и проекцией точки на плоскость О ху, и θ – углом между положительной полуосью оси О z и отрезком OP (рис.6). При этом Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:
x = r sin θ cos φ, y = r sin θ sin φ, z = r cos θ. (9)
Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так: , (10) где F 1 и F 2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты. Геометрические и физические приложения Кратных интегралов
1) Площадь плоской области S: (11) Пример 1. Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями у = 2, у = 5. Решение. Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями и где вычисляется с помощью интегрирования по частям: Следовательно,
2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y), ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость О ху и отрезками, параллельными оси О z и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости О ху: (12) 3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L: (13) где D – проекция S на плоскость Оху. 4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D: (14) Пример 2. Найти момент инерции однородной круглой пластинки (x – a)2 + (y – b)2 < 4 b 2 относительно начала координат. Решение. В силу однородности пластинки положим ее плотность γ (х, у) = 1.
Центр круга расположен в точке C (a, b), а его радиус равен 2 b. Уравнения границ пластинки имеют вид Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно. Для вычисления интеграла I 1 сделаем замену: при x = a – 2 b при x = a + 2 b Для вычисления интеграла I 2 преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов: Тогда Следовательно,
Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу: (15) 5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у): (16) Пример 3. Найти массу пластинки D плотности γ = ух 3, если Решение.
Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у): (17) Пример 4. Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у 2 = ах и Решение. Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.
Тогда Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий: Соответственно 6) Объем тела V: (18) Пример 5. Найти объем тела V, ограниченного поверхностями Решение. Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0): Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х 2 и х + у = 2: посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:
7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z): (19) 8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:
(20) (21) где γ (х, y, z)– плотность вещества. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy: (22) 9) Координаты центра масс тела: (23)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|