Многомерная (n-мерная) случайная величина (общие сведения)
⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Систему n случайных величин называют n- мерной (многомерной) случайной величиной или случайным вектором . Многомерная случайная величина есть функция элементарного события w: : каждому элементарному событию w ставится в соответствие n действительных чисел - значения, принятые случайными величинами в результате опыта. Вектор называется реализацией случайного вектора . Закон распределения вероятностей n- мерной случайной величины задается ее функцией распределения Функция распределения обладает такими же свойствами, как и функция распределения двух случайных величин . В частности: она принимает значения на отрезке [0, 1], , . Плотность распределения системы n непрерывных случайных величин определяется равенством . При и
Вероятность попадания случайной точки в область D из n -мерного пространства выражается n -кратным интегралом . Функция распределения выражается через плотность n -кратным интегралом Необходимым и достаточным условием взаимной независимости n случайных величин является равенство: , а для n непрерывных случайных величин .
Основными числовыми характеристиками многомерной случайной величины являются: 1. n математических ожиданий составляющих , т.е. 2. n дисперсий составляющих , т.е. , при этом , . 3. n (n - 1) ковариаций, т.е. , , при этом , . Ковариации образуют ковариационную матрицу
или
Характеристическая функция и ее свойства Наряду с функцией распределения, содержащей все сведения о случайной величине, для ее описания можно использовать так называемую характеристическую функцию. С ее помощью, в частности, упрощается задача нахождения распределения суммы независимых случайных величин, нахождения числовых характеристик случайных величин.
Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины обозначается через или просто . Таким образом, по определению , где t - параметр, - мнимая единица. Для дискретной случайной величины X, принимающей значения x 1, x 2,… с вероятностями , , характеристическая функция определяется формулой
для непрерывной случайной величины с плотностью - формулой
Заметим, что: 1. Характеристическая функция непрерывной случайной величины есть преобразование Фурье от плотности ее распределения. Плотность выражается через обратным преобразованием Фурье: . 2. Если случайная величина принимает целочисленные значения 0, 1, 2,..., то , где . Тогда .
Свойства характеристической функции:
1. Для всех имеет место неравенство . 2. Если , где a, b - постоянные, то . 3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин Х и Y равна произведению их характеристических функций . 4. Если для некоторого k существует начальный момент k -го порядка случайной величины Х, т.е. , то существует k-я производная характеристической функции и ее значение при равно , умноженному на , т.е. . Из свойства 4 следует, . Отсюда, как частный случай, можно получить: , ,
Характеристическая функция нормальной случайной величины
Согласно формуле (6.44), характеристическая функция случайной величины равна
. Таким образом, , если .
Пример 6.9. Найти с помощью характеристической функции математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Решение: Применим формулы (6.45): , т.е. , , т.е. . Получили известные нам результаты: - математическое ожидание, - среднее квадратическое отклонение. Эти параметры полностью определяют случайную величину, распределенную по нормальному закону.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|