4.3. Диаграмма Айнса-Стретта.. 4.4. Уравнение Матье.
4. 3. Диаграмма Айнса-Стретта.
Для практических целей главный интерес представляет определение границ между областями устойчивых и неустойчивых решений. Ответ на этот вопрос дает диаграмма Айнса-Сретта (рис. 4. 5). Она может быть построена для уравнения Мейснера в координатах , с использованием численных методов интегрирования. Ею пользуются при отсутствии программного обеспечения, позволяющего ответить на вопрос об устойчивости движения. Рис. 4. 5 На диаграмме заштрихованные области соответствуют устойчивому состоянию системы . Не заштрихованные области соответствуют неустойчивому состоянию системы, когда колебания неограниченно возрастают . Иногда их называют параметрическим резонансом. Сплошные линии на диаграмме соответствуют периодическим режимам .
4. 4. Уравнение Матье.
Это однородное дифференциальное уравнение. . (4. 6) Введем обозначения ; ; , тогда уравнение Матье запишется в безразмерном виде . Исследованиями этого уравнения занимались Дж. Релей и Айнс. Решение записывается в специальных функциях, которые получили название функции Матье. Мы будем строить решение с помощью матрицы переноса, так же как это осуществлялось для уравнения Мейснера. Построим матрицу переноса для уравнения Матье. 1. Интегрируем численно уравнение
на интервале ( ) при начальных условиях : , . В результате численно находим компоненты первого столбца матрицы переноса , . 2. Интегрируем то же уравнение на интервале при начальных условиях : , . В результате находим компоненты второго столбца матрицы переноса , .
3. После повторения этой процедуры строим матрицу переноса для момента кратного любому количеству периодов . После чего вычисляем ее норму . По найденному значению нормы можно судить о характере колебательного движения системы. При этом возможны три случая: 1. - неустойчивое движение; 2. - устойчивое движение; 3. - граница раздела между областями устойчивого и неустойчивого движения. Физически это соответствует случаю установившегося периодического движения. При этом амплитуда колебаний не возрастает с течением времени, поэтому значение обобщенных координат по истечении периода может быть вычислено по формуле или , где - единичная матрица. Следовательно, в силу однородности уравнения для определения границ устойчивого движения может быть использовано условие . Точно так же с помощью матрицы переноса можно построить алгоритм проверки устойчивости для уравнения Хилла. Как и в предыдущем случае для данного колебательного процесса может быть построена диаграмма Айнса-Стретта (см. рис. 4. 5). Замечание. При численном интегрировании уравнения Матье на интервале нельзя использовать процедуру автоматического выбора шага, иначе в области неустойчивости точность расчета может быть не достигнута, вследствие чего может возникнуть сбой вычислительной процедуры.
ПРИМЕР. 1. Найти при каком сочетании параметров , , и вертикальное положение обращенного маятника будет устойчивым, если задан закон вертикального перемещения шарнирной опоры маятника . Рис. 4. 6 РЕШЕНИЕ. Для описания относительного колебательного движения будем использовать обобщенную координату . Для составления уравнения движения воспользуемся принципом Даламбера. Составим уравнение моментов относительно центра вращения: . Учитывая, что сила инерции переносного движения равна , и, ограничиваясь малыми отклонениями маятника от вертикали , найдем
. И окончательно . Воспользуемся обозначениями ; ; , тогда уравнение движения примет вид . С помощью построения матрицы переноса можно показать, что движение обращенного маятника будет устойчивым, если выполняется условие . Это означает, что движение будет устойчивым, если амплитудное значение скорости движения основания (точки подвеса) будет больше или равно той скорости, которую приобрел бы шарик, падая с высоты без начальной скорости. Впервые возможность стабилизации маятника в перевернутом положении за счет вертикальных колебаний точки подвеса установил А. Стефенсон в 1907 году. В заключении заметим, что все вышесказанное справедливо для линейного дифференциального уравнения. С ростом амплитуды изменения параметра начинает сказываться роль нелинейных факторов, которые нами не принимались в расчет. Вопрос о существовании устойчивых периодических решений в таком случае требует особого рассмотрения с привлечением теории нелинейных колебаний.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|