4.5. Влияние вязкого трения на параметрические колебания.
4. 5. Влияние вязкого трения на параметрические колебания.
Рассмотрим влияние линейно-вязкого трения на колебательный процесс, описываемый с помощью уравнений Мейснера и Матье. Начнем с уравнения Мейснера, которое при наличии вязкого трения описывается уравнением ; , где - коэффициент вязкого трения; - обобщенный коэффициент инерции. Построим матрицу переноса
Матрица строится для уравнения , где . (4. 7) Построим решение этого уравнения на интервале , где (4. 8) Используя начальные условия: : , , можно найти коэффициенты первого столбца матрицы переноса ; . (4. 9) Для этого продифференцируем решение (4. 8) , Тогда из начальных условий следует , кроме того, полагаем . В результате находим значение первой постоянной интегрирования . Окончательно решение и выражение для скорости записываются в виде , , Используя соотношения (4. 9), находим коэффициенты первого столбца матрицы переноса , , Построим решение дифференциального уравнения (4. 7) на интервале при начальных условиях: : , (4. 10) И соответственно для скорости
Коэффициенты второго столбца матрицы переноса определяются выражениями
; . (4. 11) Положим , тогда из начальных условий следует и далее . Поэтому решение уравнения и выражение для скорости запишутся в окончательном виде так: , , а коэффициенты второго столбца матрицы переноса будут равны , . Таким образом, матрица построена. Перейдем к построению матрицы . Уравнение движения для интервала запишем в виде , где . (4. 12) Уравнения (4. 7) и (4. 12) идентичны и отличаются лишь значениями коэффициентов и . Поэтому элементы матрицы могут быть получены из элементов матрицы путем замены коэффициентов на коэффициенты ; ; ; . Наконец и матрица построена. Дальнейшие расчеты без компьютера провести невозможно. Выводы: Расчеты, осуществленные с помощью компьютерной техники, показывают, что демпфирование лишь несколько увеличивает области устойчивости, но не ограничивает амплитуду колебаний в областях неустойчивости (области параметрического резонанса). Если считать демпфирование нелинейным, то колебания в области параметрического резонанса могут оказаться ограниченными.
4. 6. Учет вязкого трения в уравнениях Матье.
При рассмотрении параметрических колебаний, описываемых уравнениями Матье, возникает необходимость оценить влияние линейно-вязкого трения на амплитуду колебаний в областях параметрического резонанса. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Уравнение Матье записывается в виде . (4. 13) Для оценки характера изменения амплитуды колебаний по истечении периода построим матрицу переноса . Проинтегрируем численно уравнение (4. 13) на интервале при начальных условиях : , . Заметим, что при интегрировании нельзя шаг выбирать автоматически. В результате находим
; . Изменяя начальные условия : , , повторим процедуру интегрирования, после чего найдем ; . Таким образом, матрица переноса построена. Повторяем эту процедуру число раз кратное периоду, затем вычисляем Евклидову норму матрицы , где - число шагов умножения. После этого производим оценку устойчивости движения колебательной системы: 4. - неустойчивое движение; 5. - устойчивое движение; 6. - граница раздела между областями устойчивого и неустойчивого движения (периодический режим). Как и для уравнения Мейснера, условие существования периодического режима записывается в виде . Вывод: линейно-вязкое трение не ограничивает амплитуды параметрических резонансов (возможно ограничение амплитуд при учете нелинейного трения). Области устойчивости при наличии линейного вязкого трения расширяются.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|