Вариационные задачи на условный экстремум
Классификация вариационных задач. Вариационная задача означает нахождение функции (в рамках вариационного исчисления — уравнения на функцию), удовлетворяющей условию стационарности некоторого заданного функционала, то есть такой функции, (бесконечно малые) возмущения которой не вызывают изменения функционала по крайней мере в первом порядке малости. Также вариационной задачей называют тесно связанную с этим задачу нахождения функции (уравнения на функцию), на которой данный функционал достигает локального экстремума (во многом эта задача сводится к первой, иногда практически полностью). Обычно при таком употреблении терминов подразумевается, что задача решается методами вариационного исчисления. Типичными примерами вариационной задачи являются изопериметрические задачи в геометрии и механике; в физике — задача нахождения уравнений поля из заданного вида действия для этого поля. Изопериметрическими являются две классические задачи вариационного исчисления: Задача Дидоны и задача о цепной линии. Зада́ча Дидо́ны — исторически первая задача вариационного исчисления. адача сводится к нахождению экстремума функционала с граничными условиями , и при фиксированном параметре (длине) a и b просто точки закрепления каната. Решением является дуга окружности, если концы нельзя двигать по побережью, и полуокружность в противном случае.
Задача Бо́льца — это задача теории оптимального управления вида
Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется следующая экспериментальная задача в пространстве : (7.1)
‑ называется интегрантом. Экстремум в задаче (7.1) рассматривается среди функций , удовлетворяющих условиям на концах, или краевым условиям , такие функции называются допустимыми.
Лагранжа задача - одна из основных задач классич. вариационного исчисления. Состоит в минимизации функционала при наличии дифференциальных ограничений типа равенств: и граничных условий: Обычно Л. з. рассматривается при условии, что имеет место регулярность системы (1), состоящая в том, что матрица имеет максимальный ранг: Задачей с подвижными концами называется следующая задача в пространстве : (8.1) , (8.2) Здесь – заданный конечный отрезок, – функция трех, а – четырёх переменных. Задача оптимального управления заключается в нахождении функций состояния x(t) и управления u(t) для времени , которые минимизируют функционал. Уравнения состояния: (1). Граничные условия , (2). Минимизируемый функционал: . здесь x(t) — вектор состояния u(t) — управление, t0,t1 — начальный и конечный моменты времени. Задача со старшими производными. Задача о брахистотроне и быстродействии. Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера.
Функционал Лагранжа. Задача Лагранжа: определить минимум функционала
Вариационные задачи на условный экстремум Основные виды задачи на условный экстремум, которые имеет смысл рассмотреть, таковы: · Надо найти экстремум функционала при условии равенства нулю другого функционала ; (то, что в правой части нуль, не нарушает общности). · Надо найти экстремум функционала при условии . · Надо найти экстремум функционала при условии выполнения для уравнения , где — некоторая функция и/или производных , обозначенных штрихами. (Третий тип условия выписан здесь не в самом общем виде, но для наших целей этого достаточно.) К первым двум случаям практически прямо (на принятом сейчас нами уровне строгости нет смысла проводить тут границу между случаем функций конечномерного аргумента, и функционалами) применим метод неопределенных множителей Лагранжа. А именно, для нахождения условного экстремума при наложении соответстсующих условий, нужно решить вариационную задачу для функционала в первом и во втором случае, а затем подобрать (решив уравнение в первом случае и N уравнений с частными производными по каждому из λi во втором) такие λ, которые реализуют минимум в найденном семействе функций f, для котого эти λ являются параметрами. То есть, что касается вариационного исчисления, то ключевым моментом является нахождение и приравнивание нулю вариации (или вариационной производной) для некоего нового функционала , для этих двух случаев:
Третий же случай рассмотрим здесь для интегрального функционала . Тогда нахождение условного экстремума сводится сначала к варьированию функционала , где x — переменная, принадлежащая области интегрирования Ω (одномерной или n-мерной), аλ(x) — некая неопределенная функция x, которая войдет в уравнение, полученное после вычисления вариационной производной и приравнивания ее нулю. Обоснованием такого решения для случая 3 может служить представление для каждой точкиx0 из Ω выполнения равенства в x0 как приравнивание нулю функционала с использованием дельта-функции Дирака. Далее можно считать на рассматриваемом здесь неформальном уровне очевидным, что задача стала аналогичной варианту 2, и, после суммирования по всем x0, ее решение сводится к описанному выше. Таким образом, ключевой момент с точки зрения вариационного исчисления в нахождении условного экстремума третьего типа сводится к 3. Под производными при многомерном x можно иметь в виду, например, частные производные разного порядка, в том числе смешанные.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|