 |
Задания для самостоятельной работы
|
|
|
|
1. В ящике a белых, b черных, c синих шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: 1) белый, 2) черный, 3) синий, 4) белый или черный, 5) белый или синий, 6) синий или черный.
2. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; а вторым – 0,75. Стрелки выстрелили одновременно. Какова вероятность того, что один из них попадет в цель, а другой не попадет?
3. Вероятность того, что в южном городе N температура в июле в любой день меньше 
равна a (a – малое положительное число, второй степенью которого можно пренебречь). Какова вероятность того, что в течение первых трех дней июля температура будет не меньше ? Решить задачу при a=0,001.
4. В первом ящике 1 белый, 2 красных и 3 синих шара. Во втором ящике 2 белых, 6 красных, 4 синих шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?
5. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение 4-х дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
6. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если считать выбор случайным), что выбраны:
1) 2 мальчика, 2) 2 девочки, 3) мальчик и девочка?
7. Производят 3 выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов произойдет только одно попадание.
8. Монету подбрасывают 8 раз. Какова вероятность того, что 6 раз она упадет гербом вверх?
9. Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что она упадет гербом вверх не более трех раз?
10. В классе 20 мальчиков и 10 девочек. На каждый из трех вопросов, заданных учителем, ответили по одному ученику. Какова вероятность того, что среди ответивших были 2 мальчика и одна девочка?
|
|
|
11. В каждом из четырех ящиков по 5 белых и по 15 черных шаров. Из каждого ящика вынули по одному шару. Какова вероятность вынуть 2 белых и 2 черных шара?
12. Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном, взятом наудачу ящике, детали окажутся стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.
13. Первый рабочий за смену может изготовить 120 изделий, а второй – 140 изделий, причем вероятность того, что эти изделия высшего сорта, составляют соответственно 0,94 и 0,8. Определить наивероятнейшее число изделий высшего сорта, изготовленных каждым рабочим.
14. В первом ящике 5 белых и 10 черных шаров, во втором – 3 белых и 7 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.
15. В первом ящике 1 белый и 2 черных шара, во втором – 100 белых и 100 черных шаров. Из второго ящика в первый переложили один шар, а затем из первого ящика вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар ранее находился во втором ящике, если известно, что он белый.
*Схема Бернулли. Формула Пуассона.
Локальная и интегральная теоремы Муавра–Лапласа [21]
1. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти: 1) вероятности возможного числа появлений бракованных деталей среди 5 отобранных; 2) наивероятнейшее число появлений бракованных деталей среди отобранных.
2. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число выпадений тройки было равно 10?
3. На факультете насчитывается 1 825 студентов. Какова вероятность, что 1 сентября является днем рождения одновременно 4-х студентов факультета?
4. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти: 1) вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники; 2) вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) из 400 имеют холодильники; 3) вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.
|
|
|
5. В среднем 20 % пакетов акций на аукционах продаются по первоначально заявленной цене. Найти вероятность того, что из 9 пакетов акций в результате торгов по первоначально заявленной цене: 1) не будут проданы 5 пакетов; 2) будет продано: а) менее 2-х пакетов; б) не более 2-х пакетов; в) хотя бы 2 пакета; 3) наивероятнейшее число пакетов.
6. Завод отправил на базу 10 000 стандартных изделий. Среднее число изделий, повреждаемых при транспортировке составляет 0,02 %. Найти вероятность того, что из 10 000 изделий: 1) будет повреждено: а) 3; б) по крайней мере 3; 2) не будет повреждено: а) 9 997; б) хотя бы 9 997.
7. По результатам проверок налоговыми инспекциями установлено, что в среднем каждое второе малое предприятие региона имеет нарушение финансовой дисциплины. Найти вероятность того, что из 1 000 зарегистрированных в регионе малых предприятий имеют нарушения финансовой дисциплины: а) 480 предприятий; б) наивероятнейшее число предприятий; в) не менее 480; г) от 480 до 520.
8. В страховой компании 10 000 клиентов. Страховой взнос каждого клиента составляет 500 руб. При наступлении страхового случая, вероятность которого по имеющимся данным и оценкам экспертов составляет 0,5 %, страховая компания обязана выплатить клиенту страховую сумму размером 50 000 руб. На какую прибыль может рассчитывать страховая компания с вероятностью 95 %?
9. Вероятность малому предприятию быть банкротом за время t равна 0,2. Найти вероятность того, что из 6 малых предприятий за время t сохранятся:
а) 2; б) более 2-х.
10. В среднем по 15 % договоров страховая компания выплачивает страховую сумму. Найти вероятность того, что из 10 договоров с наступлением страхового случая будет связано с выплатой страховой суммы:
а) 3 договора; б) менее 2-х договоров.
11. Предполагается, что 10 % открывающихся вновь малых предприятий прекращает свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из 6 малых предприятий не более 2-х в течение года прекратят свою деятельность?
12. В банк отправлено 4 000 пакетов денежных знаков. Вероятность того, что пакет содержит недостаточное или избыточное число денежных знаков, равна 0,0001. Найти вероятность того, что при проверке будет обнаружено:
|
|
|
а) 3 ошибочно укомплектованных пакета; б) не более 3-х пакетов.
13. Строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, раскладывает рекламные листки по почтовым ящикам. Прежний опыт работы компании показывает, что примерно в одном случае из 2 000 следует заказ. Найти вероятность того, что при размещении 100 000 листков число заказов будет:
а) равно 48; б) находиться в границах от 45 до 55.
14. Учебник издан тиражом 10 000 экземпляров. Вероятность того, что экземпляр учебника сброшюрован неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что:
а) тираж содержит 5 бракованных книг; б) по крайней мере 9 998 книг сброшюрованы правильно.
15. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
16. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставный фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что из 1 800 банков имеют уставный фонд свыше 100 млн руб.:
а) не менее 300; б) от 300 до 400 включительно.
Тема 25. Дискретные случайные величины,
их числовые характеристики и законы распределения
|
|
|
