Теорема Остроградского – Гаусса.
Знание в каждой точке пространства позволяет найти поток вектора через любую поверхность. Поскольку для идеальной жидкости дает мощность источников в бесконечно малом объеме , то в заданном объеме конечных размеров мощность источников определяется соотношением . Вся жидкость, порожденная источниками в объеме в единицу времени должна, в силу ее несжимаемости, выйти за пределы объема через его поверхность . Но объем жидкости, вытекающий через поверхность в единицу времени есть поток жидкости через поверхность , ограничивающую объем (в соответствии с определением потока вектора скорости частиц жидкости). Поэтому можно утверждать, что справедливо соотношение: . (13.22) Соотношение, аналогичное (13.22)справедливо для любого векторного поля: , (13.23) и носит название теоремы Остроградского – Гаусса. Циркуляция Допустим, что неким фантастическим образом мы можем мгновенно заморозить любой объем некоторой движущейся жидкости. И в некоторый момент времени мы мгновенно замораживаем всю жидкость , кроме тонкого замкнутого канала постоянного сечения , по центру которого проходит контур . Возникает вопрос: жидкость в канале остановится, или будет двигаться? Если двигаться, то в каком направлении… Очевидно, что результат зависит от характера течения жидкости, с одной стороны, и ориентации в пространстве канала и контура . Интуитивно понятно, что если говорить о движении жидкости типа течения реки, когда у дна (за счет взаимодействия с ним) скорость частиц должна быть меньше, чем у поверхности, результат будет зависеть от ориентации в пространстве контура. Если плоскость контура совпадает с направлением течения, и и контур расположен вертикально, то в верхней части контура импульс частиц жидкости больше, и это вызовет вращение жидкости в канале. Если представить контур в горизонтальной плоскости, то жидкость вращаться не будет, и т.д.
Для математического описания задачи примем в качестве меры движения жидкости величину произведения скорости движения жидкости на длину, контура : , которую называют циркуляцией. В момент затвердевания у частиц жидкости будет погашена составляющая импульса, перпендикулярная стенкам и останется только тангенциальная составляющая. Жидкость в отрезке длиной будет иметь импульс . ( - плотность жидкости, - объем элемента контура длиной , проекция скорости частиц жидкости на направление ). Вследствие идеального взаимодействия частиц жидкости происходит выравнивание их импульсов и жидкость начинает двигаться со скоростью . При этом выполняется закон сохранения импульса, так, что импульс жидкости в канале должен быть равен сумме составляющих импульса в элементах канала в направлении контура: , (13.24) Поэтому циркуляция (13.25) В общем случае циркуляцией вектора по контуру называют: (13.26) Важнейшим свойством циркуляции является ее аддитивность. То есть если некоторая поверхность , ограниченная контуром разбита на площадки то циркуляция по контуру, ограничивающему равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим : (13.27)
Ротор вектора Аддитивность циркуляции позволяет ввести понятие об удельной циркуляции, то есть можно рассматривать отношение циркуляции С по контуру ограничивающему S, к величине S: . Для неаддитивной величины рассматривать ее удельную величину бессмысленно. Например, возьмем удельную температуру площадки S: . Температура величина неаддитивная, и от деления площадки на части не меняется. Если площадку разделить на части , то их «удельная Т» будет возрастать, при уменьшении , до бесконечности, ничего не характеризуя. Если взять аддитивную величину массу, то удельная масса площадки в «» не уходит, а является поверхностной плотностью площадки, характеризует распределение массы по поверхности. Циркуляция величина аддитивная, и об удельной циркуляции имеет смысл говорить.
Однако, удельная циркуляция является макроскопической характеристикой, усреднённо характеризует свойства поля в пределах площадки S. Для описания свойств поля в точке можно использовать удельнную циркуляцию в точке : . (13.28) Этот предел зависит не только от способности данного поля «создавать» циркуляцию, но и от ориентации в пространстве площадки S, то есть контура ее ограничивающего. Ориентацию контура принято задавать направлением положительной нормали, направление которой связано с направлением обхода контура при вычислении циркуляции, правилом правого винта. Предел (13.28),найденныйдля противоположно ориентированных положительных , отличается только знаком. Противоположным направлениям соответствует противоположные при вычислении . Существуют такие направления, , для которых предел (13.28) достигает максимального значения и такие, когда обращается в нуль. Получается, что предел (13.28)ведет себя как проекция некоторого вектора на ось, направленную в сторону нормали, соответствующей максимальному значению предела . Если этот вектор направлен в сторону , его проекция максимальна, если он ей перпендикулярен, проекция равна нулю, и проекция отрицательна для направления, противоположного . Этот вектор и называется ротором вектора и обозначается . Максимальное значение предела (13.28)определяет модуль , а соответствующее направление нормали – направление . Таким образом, можно утверждать, что при произвольной ориентации контура предел (13.28) дает проекцию ротора на направление нормали , задающей ориентацию контура в пространстве: . (13.29) 13.8 Выражение для в декартовой системе координат Соотношение (13.29) позволяет найти проекцию ротора вектора на заданное направление. Поскольку является вектором, для его определения необходимо задать его проекции на оси координат. Это позволит найти вектор в целом: (13.30) Поэтому представим контур в виде прямоугольника со сторонами, параллельными осям координат и (рисунок 13.5). Выберем направление обхода контура так, как указано стрелками, чтобы нормаль к контуру совпадала с направлением оси . Площадь контура равна . Найдем циркуляцию по такому контуру и, разделив ее на площадь контура, получим выражение для проекции ротора на ось .
На участке 1 , поскольку на этом участке элементы контура направлены навстречу оси . На участке 3 . Аналогичные соотношения справедливы и для участков 2 и 4. Будем считать и достаточно малыми, чтобы проекцию вектора на этих участках можно было бы считать постоянной. Тогда для циркуляции по контуру можно записать: . (13.31) Приращение составляющей при смещении на представим в виде: . (13.32) Соответственно . (13.33) Поэтому циркуляция по контуру, ориентированному нормалью вдоль : . (13.34) Разделим на , и для проекции ротора на ось получим: . (13.35) Рассуждая аналогичным образом для проекций на и можем записать: , (13.36) . (13.37) Осталось подставить найденные проекции ротора в формулу (13.30): . Теорема Стокса Знание в каждой точке поверхности S позволяет найти циркуляцию по контуру Г, ограничивающему S. Для этого разобьем S на малые , каждую из которых можно считать плоской и описывать вектором . Тогда . (13.38) В силу аддитивности циркуляции, циркуляция по контуру Г, ограничивающему S . (13.39) В пределе, при , учитывая, что , получаем: . (13.40) Это соотношение называют теоремой СТОКСА.
13.10 Представление градиента, дивергенции и ротора с использованием оператора Ñ Запись формул векторного анализа существенно упрощается при использовании векторного дифференциального оператора Ñ: . (13.41) Если Ñ умножить на скалярную функцию : , то получаем . Поэтому часто вместо пишут . Итак: . (13.42) Если Ñ скалярно умножить на векторную функцию , то получится скаляр . (13.43) Если же Ñ умножить на вектор векторно, то получим . (13.44)
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|