Соотношения векторного анализа
При использовании оператора Ñ необходимо помнить, что он является векторным и дифференциальным одновременно и действует на функции, записанные непосредственно после него. Градиент произведения скалярных функций по правилам дифференцирования: . (13.45) Аналогично дивергенция произведения скалярной функции на векторную по правилам дифференцирования: . (13.46) Поскольку градиент является векторной функцией, то от него можно взять дивергенцию. При этом необходимо учесть векторный характер оператора Гамильтона: . (13.47) Считая Ñ вектором, преобразуем правую часть (13.46):
. (13.48) Поскольку квадрат оператора Гамильтона часто встречается в выражениях , его обозначают одним символом и называют оператором ЛАПЛАСА. Поэтому для дивергенции градиента скалярной функции можем записать: . (13.49) Дивергенция ротора с точки зрения векторного анализа представляет собой смешанное произведение векторов, в котором два вектора одинаковы. Геометрический смысл смешанного произведения – объем параллелепипеда, построенного на векторах. Но если в произведении два одинаковых вектора, то объем равен нулю! Поэтому . (13.50) Соотношение (13.50) означает, что поле ротора не имеет источников. Поэтому можно утверждать, что если некоторое векторное поле можно представить в виде ротора векторной функции, то это поле не имеет источников. Именно поэтому поток через любую поверхность S, опирающуюся на данный контур Г всегда одинаков в соответствии с теоремой Стокса. Линии поля, представленного в виде ротора всегда замкнуты. Применим операцию ротор к градиенту скалярной функции: . (13.51) В векторном произведении в правой части (13.50) два одинаково направленных вектора. Поэтому оно равно нулю, а значит
. (13.52) Формула (13.52)означает, что, если некоторое векторное поле можно представить в виде градиента скалярной функции, то ротор, а значит и циркуляция такого векторного поля равна нулю. Результат применения операции ротор к ротору с точки зрения векторного анализа представляет собой двойное векторное произведение, которое раскрывается по правилу «bac-cab» : . (13.53) Поэтому . (13.54)
Циркуляция и дивергенция электростатического поля Циркуляция и ротор электростатического поля Силы электростатического поля являются консервативными. Поэтому их работа на любом замкнутом пути равна нулю: . (14.55) Следовательно, циркуляция вектора по любому контуру . (14.56) Согласно теореме Стокса, . Поэтому поток через любую поверхность S, опирающуюся на некоторый Г (14.57) Поскольку (14.57) выполняется для любой поверхности, то должно быть равно нулю подынтегральное выражение: (14.58) Формулы(14.56) и(14.58)означают: невозможно существование электростатического поля такой конфигурации, где . Например, невозможно создать электростатическое поле, отличное от нуля только в определенном объёме. Действительно, по всякому контуру, частично проходящему в этом объеме, циркуляция будет не равна нулю, чего быть не может! Равенство нулю указывает на то, что можно представить в виде градиента скалярной функции. некоторой скалярной . И действительно (14.59)
Теорема Гаусса Вспомним о том, что поток любого вектора через замкнутую поверхность численно равен количеству линий, выходящих из поверхности наружу. Мы доказывали, что количество линий выходящих из положительного заряда одинаково на любом расстоянии от него и равно . Поэтому для точечного заряда справедливо соотношение: (14.60) Если внутри некоторой замкнутой поверхности S находится N зарядов , то по принципу суперпозиций . Поэтому поток результирующего поля через поверхность S:
(14.61) Таким образом, можно утверждать, что поток вектора напряженности электростатического поля, через замкнутую поверхность , (14.62) т.е. равен алгебраической сумме зарядов внутри этой поверхности деленной на . Это утверждение называется теоремой Гаусса для вектора напряженности электростатического поля. Учитывая малость элементарного заряда обычно при рассмотрении макроскопических задач распределение заряда в пространстве, описывают плотностью заряда: , (14.63) Соответственно соотношение (14.60)записывают в виде , (14.64) Необходимо учесть, что по теореме Остроградского - Гаусса . Поэтому , (14.65) Это равенство должно выполняться для любого объема V, а значит , (14.66) Соотношение (13.66) называется теоремой Гаусса в дифференциальной форме.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|