 |
2. Основные метрические. Задачи (эпюр 2). 2. 1. Краткие методические указания. К заданиям 5,6,7
|
|
|
|
2. ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ
ЗАДАЧИ (ЭПЮР 2)
2. 1. Краткие методические указания
к заданиям 5, 6, 7
На практике очень часто приходится определять величину и форму геометрических объектов, изображенных на чертеже. Задачи, связанные с этим, принято называть метрическими.
Величина и форма геометрического объекта связана с параметрами его формы, которые на чертеже реализуются размерами. Такая реализация возможна при условии отображения на чертеже систем координат, в которых исчисляются размеры линейных протяженностей и углов.
Чертежи, удовлетворяющие этому условию, называются метрически определенными. Примером является чертеж, построенный по схеме эпюра Монжа, аксонометрический чертеж и т. д.
Измерения геометрических элементов в пространстве базируются на оценке длин отрезков, соединяющих пару точек, и на построении взаимноперпендикулярных фигур. Например, для измерения расстояния от точки до прямой необходимо опустить на прямую из точки перпендикуляр, построить его основание и оценить длину полученного отрезка. Аналогичную технологию применяют для определения расстояния от точки до плоскости, между двумя плоскостями и т. д.
При решении таких задач на чертеже следует опираться на свойства проецирования, а также учитывать искажения фигур в процессе их отображения из пространства на плоскость проекций.
При ортогональном проецировании отрезка прямой, параллельной плоскости проекций, его длина не искажается.
Рис. 6 Рис. 7
На рис. 6 показан отрезок АВ||П1. Этот отрезок ортогонально проецируется на П1 без искажения длины. Не искажается также угол наклона этого отрезка w по отношению к плоскости П2. Отрезок АВ является горизонталью. Аналогичные рассуждения могут быть сделаны относительно фронтали – отрезка параллельного П2. Отрезок общего положения проецируется на плоскости проекций с искажением длины. Это видно из рис. 6 на примере отрезка СD, у которого отрезок С1 = С1D1 является катетом в прямоугольном треугольнике С1D. Отрезок СD в этом треугольнике является гипотенузой, которая длиннее катета. На рис 7 показаны треугольные отсеки АВС и DEF плоскостей, перпендикулярных одной из плоскостей проекций.
|
|
|
Из геометрии известен признак перпендикулярности двух плоскостей: плоскость a перпендикулярна плоскости b, если она содержит прямую перпендикулярную к этой плоскости. Из чертежа видно, что АВС^П1, так как она содержит фронталь 1, 2^П1. Заметим, что плоскость АВС при этом стала горизонтально проецирующей, а ее проекция на П1 «выродилась» в прямую.
Фронталь 1, 2 спроецировалась в точку, рис. 7. Аналогичные рассуждения справедливы для плоскости DEF^П 2 и ее горизонтали F3, рис. 7.
Перейдем теперь к эпюру Монжа. На рис. 8 в системе координат OXYZ, развернутой в эпюр, показан чертеж отрезка горизонтали АВ и СD общего положения. Проекции отрезка СD на плоскостях проекций П1 и П2 не равны по длине самому отрезку. Поставим задачу определения истинной длины отрезка СD по его проекциям. Используем рис. 6, на котором показан прямоугольный треугольник CD1. В этом треугольнике отрезок СD является гипотенузой, а катетами являются отрезок С1 = С1D и отрезок D1 = DD1 – СС1. Этот треугольник можно построить, используя информацию из эпюра отрезка CD на рис. 8. Оба катета на чертеже имеются и треугольник можно построить. На рис. 8 задача решена двумя методами. Во втором случае использована проекция C2D2, а также разность расстояний от концов проекции C1D1 до оси ОХ12 (рис. 8). Этот способ построения истинной величины отрезка известен как метод прямоугольного треугольника. В дальнейшем этот метод нам понадобится.
|
|
|
Построение взаимно перпендикулярных фигур на чертеже основывается на теореме о проецировании прямого угла.
Прямой угол ортогонально проецируется без искажения своей величины, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций.
Рис. 8 Рис. 9
На рис. 9 приведены две задачи, иллюстрирующие применение этой теоремы.
В левой части эпюра задана горизонталь а двумя своими проекциями а1, а2 и точка В (ее проекции В1 и В2). Требуется определить истинную величину расстояния от точки В до горизонтали а. Для начала необходимо опустить перпендикуляр из В на а. Поскольку а параллельна П1, то прямой угол между искомым перпендикуляром и горизонталью проецируется на П1 без искажения. Строим перпендикуляр из В1 на а1. Отмечаем основание К1. Построение фронтальной проекции перпендикуляра ВК трудностей не составляет. Прямой угол на проекции здесь исказился в полном соответствии с теоремой о проецировании прямого угла. Имеем две проекции искомого расстояния. Теперь методом прямоугольного треугольника стоим отрезок К11, длина которого равна искомому расстоянию.
В правой части эпюра построены проекции треугольника DEF, перпендикулярного плоскости проекций П2. Для этого в треугольнике проведена прямая, перпендикулярная П2. Такой прямой будет горизонталь F3, ее проекция F131^ОХ12. В пространстве ось ОХ12 принадлежит плоскостям П1 и П2, а горизонталь F131 – П1. В полном согласии с теоремой, проекция F131^ OX12 (рис. 9).
Рассмотренный метод прямоугольного треугольника и теорема о проецировании прямого угла являются базовыми для формирования способов преобразования чертежа.
Под преобразованием чертежа будем понимать формирование на основе исходных данных проекций объекта некоторых новых его проекций, способствующих решению конкретной задачи (в частности метрической).
Поскольку исходные и новые проекции являются изображениями одного и того же объекта, форма и величина последнего не должны искажаться в процессе преобразования исходных проекций в новые. Такое условие выполняется в том случае, когда расстояние между парой произвольных точек объекта остается неизменным. Но, как мы видели выше, такое условие будет выполнено, если катет прямоугольного треугольника, формирующего расстояние между двумя точками, остается неизменным (метод прямоугольного треугольника). Выполнение этого условия обеспечивается тем, что одна из проекций преобразуемого чертежа должна оставаться неизменной по форме и величине (один из катетов). От другой исходной проекции должны оставаться неизменными расстояния (либо разности расстояний) от конечных точек проекций отрезков до оси, разделяющей исходные проекции.
|
|
|
На рис. 10 исходные проекции отрезка АВ, А1В1 и А2В2 преобразованы в проекции того же отрезка. При этом, после преобразования фронтальная проекция `А2`В2 осталась равной исходной проекции А2В2, но расположена в новом положении параллельно оси ОХ12. Проекция `А1`В1 расположилась так, что конечные точки проекции сопряжены с соответствующими точками фронтальной проекции линиями связи.
В новом чертеже отрезок АВ расположен параллельно П1 и поэтому |`А1`В1|=|АВ|. На чертеже рис. 10 проведено еще одно преобразование, в результате которого отрезок АВ стал перпендикулярным П2.
Способы преобразования, основанные на перемещениях проекций объекта относительно неподвижной системы координат, называются способами перемещения (перемещение может быть вращением объекта в пространстве и т. п. ). Однако можно, оставляя объект неподвижным, заменять исходную систему координат, разворачивая ее каждый раз в эпюр. Такие способы называются способами замены плоскостей замены (плоскостей координат). Во всех способах остаются постоянными те условия, которые формируют способ прямоугольного треугольника. Можно считать катеты прямоугольного треугольника инвариантами любого преобразования чертежа, сохраняющегося форму и величину объекта.
Рис. 11 Рис. 10
На рис. 11, 12, 13 приведены примеры решения метрических задач с применением способов преобразования чертежа и теоремы о проецировании прямого угла.
|
|
|
На чертеже рис 11 задана плоскость АВС и точка D. В задаче требуется построить истинное расстояние от точки D до плоскости АВС.
Для решения задачи построены проекции перпендикуляра из точки D на АВС. Для определения этих проекций выполнено условие теоремы о проецировании прямого угла. В плоскости АВС построены горизонталь и фронталь. Горизонтальная проекция перпендикуляра представлена как прямая, перпендикулярная горизонтальной проекции h1 горизонтали. Фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции f2 фронтали. Для построении точки пересечения перпендикуляра с плоскостью АВС и истинной величины расстояния от точки D до АВС выполнено преобразование исходных проекций переменой плоскостей проекций. Новая проекция плоскости АВС и точки D выполнено на плоскость П7, перпендикулярную горизонтали плоскости АВС. При этом плоскость АВС стала проецирующей, а перпендикуляр к ней спроецировался без искажения прямого угла. Точка К7 является точкой пересечения перпендикуляра с плоскостью, а отрезок D7К7 – истинной величиной расстояния от точки D до плоскости АВС.
Рис. 12 Рис. 13
На чертеже рис. 12 задана плоскость треугольником АВС. Требуется преобразованием исходного чертежа построить истинную величину треугольника АВС. Преобразуем чертеж перемещением треугольника АВС в пространстве при неизменной системе координат и плоскостей проекций.
Очевидно, что треугольник АВС спроецируется без искажения величины в том случае, когда его плоскость будет параллельна одной из плоскостей проекции. При этом треугольник будет перпендикулярен другой плоскости проекций. Переместим треугольник в положение при котором он будет перпендикулярен, например, плоскости П2. Для этого постоим в треугольнике горизонталь (рис. 12) и произведем преобразование с соблюдением постоянства условий к формирования прямоугольного треугольника. На рис. 12 не изменилась форма и величина горизонтальной проекции АВС и расстояния от фронтальных проекций вершин треугольника до оси ОХ. После преобразования треугольник стал фронтально проецирующей плоскостью (сравните рис. 9, справа). Повторным перемещением добиваемся параллельности треугольника плоскости П1. Проекция А1В1С1 представляет треугольник АВС истинную величину.
Наконец, рис. 13 представляет собой решение задачи построения истинной величины линейного угла, измеряющего двугранный угол DАВС с ребром АВ. Из геометрии известно, что линейный угол двугранного угла измеряется в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла. Отсюда следует, что двугранный угол необходимо переместить в пространстве так, чтобы ребро было перпендикулярно плоскости проекций, на которой мы хотим получить истинную величину линейного угла.
|
|
|
Если считать, что на рис. 11 отрезок АВ представляет собой ребро двугранного угла, то все преобразования на рис. 13 совершено аналогичны преобразования АВ на рис. 11. разница в том, что на рис. 13 вместе с АВ преобразуются точки С и D. Угол w на рис. 13 представляет собой истинную величину линейного угла, измеряющего исходный двугранный угол DАВС.
|
|
|
