 |
Исследование функции на выпуклость вверх или вниз. Поиск точки перегиба
|
|
|
|
Алгоритм 2.3. Исследование функции на выпуклость вверх или вниз аналитическим способом
Для исследования функции f(x) на интервале [ a,b ] на выпуклость вверх (вниз) аналитическим способом необходимо воспользоваться определением и теоремой, которые даны в математическом анализе «О функции f(x) обращенной выпуклостью вверх (вниз) на интервале [ a,b ]» и «Необходимое условие существования точки перегиба функции f(x) на интервале [ a,b ] ».
Определение 3 «О функции f(x) обращенной выпуклостью вверх (вниз) на интервале [ a,b ]». Если вторая производная функции f2(x) на некотороминтервале [ a,b ] отрицательна или равна нулю, то в этом интервале кривая функции f(x) обращена выпуклостью вверх; если f2(x) положительна или равна нулю, то на этом интервале кривая функции f(x) обращена выпуклостью вниз. Логическое условие, которое имеет значение ИСТИНА, когда выполняется условие выпуклости вверх функции на интервале [ a,b ], имеет вид
f2(x) < =0, (10)
а логическое условие
НЕ(f2(x) < =0)), которое равносильно f2(x)>0
примем за условие выпуклости вниз.
Теорема 4 « Необходимое условие существования точки перегиба функции f(x) на интервале [ a,b ]». Если вторая производная f2(x) непрерывна на интервале[ a,b ] и меняет знак при x=x0, то точка A[ x0, f(x0) ] является точкой перегиба кривой функции f(x) на интервале [ a,b ]. Логическое условие, которое имеет значение ИСТИНА, когда необходимое условие существования точки перегиба функции f(x) на интервале [ a,b ] выполняется, имеет вид (10)
f2(x2) * f2(x1)<0. (11)
1. Исследовать значения второй производной функции f2(x) на границах интервалов значений x, заданных таблично, проверив выполнение условие выпуклости вверх функции на интервале [ a,b ] (10) с помощью логической функции ЕСЛИ(). Если логическое условие (10) имеет значение ИСТИНА, вывести текст «Выпуклость вверх», иначе (логическое условие (10) имеет значение ЛОЖЬ) ‑ «Выпуклость вниз». Провести анализ результатов выполнения условие выпуклости вверх функции f(x) на этих интервалах.
|
|
|
2. Исследовать значения второй производной функции f2(x) на границах интервалов значений x, заданных таблично, проверив выполнение необходимое условие существования точки перегиба функции f(x) на интервале [ a,b ] (11) с помощью логической функции ЕСЛИ(). Если логическое условие (11) имеет значение ИСТИНА, вывести текст «Точка перегиба», иначе «Нет». Провести анализ результатов выполнения необходимого условия существования точки перегиба функции f(x) на этих интервалах.
Пример 2.4. Исследование функции на выпуклость вверх или вниз. аналитическим способом. Поиск точки перегиба
Следуя инструкциям Алгоритма 2.3, выполнить следующие действия.
1. Создать электронную таблицу проверки логического условия (10). Обратимся к рис. 2.2. Выделить диапазон P6:P19, ввести логическую формулу с функцией ЕСЛИ() для проверки логического условия и принятия решения о выполнении условия выпуклости вверх функции и на интервале [ a,b ], которая имеет вид
=ЕСЛИ(D6<=0;“Выпуклость вверх”; “Выпуклость вниз ”).
Выполнить копирование формулы в ячейке P6 на диапазон (см. рис. 2.2).
Анализ результатов проверки логического условия показывает, что на интервале [ -3,5;-1 ] выполняется условие выпуклости вверх функции на интервале [ a,b ]
f2(-3,5)=-8,5<0; f2(-1)=-1<0 (вторая производная отрицательна на интервале и сохраняет знак).
На интервале [ -0,5;3 ] логическое условие (10) имеет значение ЛОЖЬ, следовательно, выполняется условие выпуклости вниз
f2(-0,5)=0,5> 0; f2(3)=-11> 0 (вторая производная величина положительная и сохраняет знак на интервале [ -0,5;3 ]).
2. Создать электронную таблицу проверки логического условия (10). Обратимся к рис. 2.2. Выделить диапазон O6:O19, ввести логическую формулу с функцией ЕСЛИ() для проверки логического условия и принятия решения о выполнении условия существования точки перегиба функции f(x) на интервале [ a,b ], которая имеет вид
|
|
|
=ЕСЛИ(D5*D6<0;“ Точка перегиба”; “ Нет ”).
Выполнить копирование формулы в ячейке O6на диапазон (см. рис. 2.2).
Анализ результатов проверки логического условия показывает, что на интервале [- 1;-0,5 ] выполняется условие существования точки перегиба функции f(x)
f2(-0,5)=-0,25; f2(-1,0)=4; f2(-0,5)*f2(-1,0)<0 (вторая производная меняет знак на интервале [- 0,5;-1,0 ]).
3. Точка перегиба функции принимает значение в диапазоне от -1,0 до -0,5 (см. рис.2.2). Для определения значения величины точки перегиба функции с заданной точностью eps=0,001 необходимо уточнить корень уравнения f2(x)=0 второй производной табличным методом (см. Алгоритм 3.1, Тема 1). Далее будет рассмотрено уточнение приближенного значения точки перегиба функции с заданной точностью eps табличным методом, аналогично уточнению приближенных значений точки максимума (Пример 2.3) и корня функции Алгоритм 3.1, Тема 1).
Пример 2.5. Уточнение приближенного значения точки перегиба функции с заданной точностью eps табличным методом
По данным исследования экстремума функции (см. п.1, Пример 2.2) на интервале [ -1,5;-1,5 ] значений x существует точка максимума функции. Следуя инструкциям Алгоритма 2.3 (Тема 1), выполнить следующие действия.
1. Создать электронную таблицу уточнения табличного уточнения точки максимума на интервале [-1;-,5] (см. рис.2.4). Вычислить ряд значений x на интервале [-1;-0,5]. В ячейках электронной таблицы P35 и P37 нужно ввести начальное значение ряда x=-1 и шаг по x, равный
0,1*(-1;-0,5)=0,05, соответственно (см. рис. 2.4). В ячейку Р39 ввести значение eps=0,001. В диапазоне J34:J40 вычислить значение x (см. Пример 2.3). Для полученных значений ряда значений x вычислить в диапазоне K34:K40 ряд значений функции f(x), в диапазоне L34:L40‑ первой производной f1(x), в диапазоне М34:М40 ‑ второй производной f2(x). (рис. 2.6). Для вычисления f(x), f1(x) и f2(x) нужно выделить соответствующий диапазони ввести формулу или выполнить команды Копировать и Вставить с использованием «Специальная вставка» для вычисления значений f(x), f1(x) и f2(x) из других ячеек электронной таблицы (см. Пример 2.3).
|
|
|
Рис. 2.6. Электронная таблица табличного уточнения точки перегиба на интервале [-1;-0,5]
2. Исследовать значения второй f2(x) производной на границах [-1;-0,5] интервала значений x, заданных таблично, аналитическим методом, проверив выполнение необходимого условия существования корня функции (11). Выделить диапазон N35:N40 и в ячейку N35 ввести формулу
=ЕСЛИ(M34*M35<0; “Существует точка перегиба”;”Нет”),
которую размножить на диапазон (<Ctrl>+<Enter>). На первой итерации интервал, на котором существует точка перегиба сузился и составил [ -0,7;-0,6 ].
3. Проверить логическое условие останова процесса уточнения точки перегиба”)
½ f2(x) ½<eps. (12)
Выделить диапазон O35:O40и в ячейку O35 ввести формулу
=ЕСЛИ(ABS(M35)<P39;“Точность достигнута”;”Нет”),
которую размножить на диапазон (<Ctrl>+<Enter>) (см. рис. 2.6). Точка максимума, которая отделена на интервале [ -0,7;-0,6 ], не удовлетворяет требованиям заданной точности.
½ f2(-0,6) ½=0,2>eps=0,001
Условие (12) не выполняется (погрешность оценки превышает заданную точность eps) и итерационный процесс уточнения точки перегиба нужно продолжить, повторив пп.1-3 для интервала [ -0,7;-0,6 ] (см. Пример 2.3).
Условие (12) выполняется (погрешность оценки не превышает заданную точность eps) на интервале [ -0,667;-0,6665,86 ] (см. рис. 2.3)
½ f2(-0,6665 ½ =0,0005 <eps=0.001/
Уточнение точки перегиба функции f(x) на интервале [ -1,0;-0,5 ] нужно закончить. За значение координат точки перегиба принимается значение [ -0,6665;1,59187 ], котороеполучено на последней итерации (рис. 2.6).
|
|
|
