 |
Способы задания случайных величин
|
|
|
|
Основные распределения
Случайных величин
Методические указания для самостоятельной работы студентов
всех форм обучения
Составитель В.А. Бобкова
Иваново 2005
Составитель В.А. Бобкова
УДК 519.2
Основные распределения случайных величин: Методические указания для самостоятельной работы студентов всех форм обучения/ Сост. В. А. Бобкова; ГОУВПО Иван. гос. хим.-технол. ун-т. – Иваново, 2005. 32 с.
Методические указания посвящены одному из важных разделов курса «Теория вероятностей и математическая статистика», а именно: основным распределениям случайных величин. Дано понятие случайной величины, описаны способы задания дискретных и непрерывных случайных величин, приведены определения математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения. Далее рассмотрены основные распределения дискретных случайных величин: распределение Бернулли, биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое и гипергеометрическое распределения, а также основные распределения непрерывных случайных величин: равномерное, показательное, нормальное распределения. Выведены формулы для числовых характеристик рассмотренных распределений, приведены графические иллюстрации и примеры решения задач. Даны задачи для самостоятельного решения.
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов всех специальностей вуза.
Библиогр.: 4 назв.
Рецензент доктор технических наук, профессор А. Н. Лабутин
(Ивановский государственный химико-технологический университет)
Основные сведения о случайных величинах
Понятие случайной величины
|
|
|
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, заранее не известное и зависящее от случайных причин, которые не могут быть учтены.
Случайные величины обозначаются прописными латинскими буквами X,Y, Z, …, а их возможные значения – соответствующими строчными буквами x, y, z, ….
Примеры случайных величин:
1) число вызовов, поступивших от абонентов на телефонную станцию в течение определённого времени;
2) вес наугад взятого зерна пшеницы;
3) число отличных оценок у студентов одной группы на экзамене;
4) расстояние от точки метания диска до точки падения;
5) число опечаток в книге.
Разнообразие случайных величин велико. Число принимаемых ими значений может быть конечным, счётным или несчетным; эти значения могут быть расположены дискретно или заполнять интервалы (конечные или бесконечные).
Дискретные случайные величины – это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное множество значений. Например, число появлений герба при пяти подбрасываниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4, 5); число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значения 1, 2, …, n, где n – число имеющихся в наличии патронов); число отказавших элементов в приборе, состоящем из трех элементов (возможные значения 0, 1, 2, 3) – это дискретные случайные величины.
Непрерывные случайные величины – это случайные величины, возможные значения которых образуют некоторый конечный или бесконечный интервал. Например, время безотказной работы прибора, дальность полёта снаряда, время ожидания автобуса – это непрерывные случайные величины.
Способы задания случайных величин
Для того, чтобы задать случайную величину, надо знать те значения, которые она может принимать, и вероятности, с которыми случайная величина принимает свои значения. Любое правило (таблица, функция, график), позволяющее находить вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто распределением). Про случайную величину говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».
|
|
|
Пусть X –дискретная случайная величина, которая принимает значения 
(множество этих значений конечно или счетно) с некоторыми вероятностями 
. Закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать с помощью формулы 
i = 1, 2, 3, …, n, …, определяющей вероятность того, что в результате опыта случайная величина X примет значение 
. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения:
| X | 
| 
| … | 
| … |
| P | 
| 
| … | pn | … |
Здесь первая строка содержит все возможные значения (обычно в порядке возрастания) случайной величины, а вторая – их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.
Так как события 
несовместны и образуют полную группу событий, то сумма их вероятностей равна единице.
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения случайной величины, а на оси ординат – их вероятности. Ломаную, соединяющую последовательно полученные точки, называют многоугольником распределения.
Очевидно, что ряд распределения можно построить только для дискретных случайных величин. Для непрерывных случайных величин нельзя даже перечислить все возможные значения.
Универсальным способом задания закона распределения вероятностей, пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин, является её функция распределения.
Пусть Х – случайная величина, х - действительное число. Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют вероятность того, что эта случайная величина примет значение, меньшее, чем х:
(1)
Геометрически это равенство можно истолковать так: F(x) есть вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x, то есть что случайная точка X попадёт в интервал 
.
Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:
|
|
|
(2)
2. F(x) – неубывающая функция, то есть 
если 
.
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a,b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
(3)
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, равна нулю.
3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a,b), то 
при 
и 
при 
.
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси x, то справедливы следующие предельные соотношения:
(4)
Непрерывную случайную величину можно также задать, используя другую функцию, которую называют плотностью распределения или плотностью вероятности.
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины X называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x):
. (5)
Из этого определения следует, что функция распределения является первообразной для плотности распределения.
Заметим, что для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.
Свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения является неотрицательной функцией: 
для любого x. Это свойство следует из того, что функция распределения F(x) – неубывающая функция.
2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна определенному интегралу от плотности распределения, взятому в пределах от a до b:
. (6)
Геометрически это можно истолковать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, кривой распределения f(x) и прямыми x = a и x = b (см. рис.1).
Рис. 1. График плотности распределения непрерывной случайной величины. Площадь S равна вероятности попадания случайной величины в интервал (a,b).
Следствие 1. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от 
до 
равен единице:
|
|
|
(7)
Геометрически это означает, что вся площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox и кривой распределения, равна единице (см. рис. 2).
Рис. 2. Площадь под графиком интегральной кривой равна единице.
Следствие 2. Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения F(x) по формуле:
. (8)
Действительно, если в формуле 
(6) перейти к пределу при 
; то 
. Следовательно, 
. Отсюда получается выражение (8) для F(x).
Итак, для того, чтобы некоторая функция была плотностью вероятностей, должны выполняться следующие условия:
а) функция должна быть неотрицательной;
б) должно выполняться равенство 
;
в) функция должна стремиться к 0 при 
.
|
|
|
