Задачи для самостоятельной работы
Задачи для самостоятельной работы 12. 1. Случайная величина X задана плотностью распределения вероятностей ; ; . Найти ее характеристическую функцию. 12. 2. Найти преобразование Лапласа и начальные моменты двух первых порядков случайной величины X, имеющей равномерное распределение на интервале [2, 4]. 12. 3. Величины X и Y независимы и одинаково распределены с преобразованием Лапласа . Найти преобразование Лапласа величин Z=X+Y и T=X-Y. 12. 4. Найти преобразование Лапласа случайной величины X, заданной плотностью распределения вероятностей , . 12. 5. Найти характеристическую функцию и начальные моменты случайной величины, плотность распределения вероятностей которой имеет следующий вид 12. 6. Случайная величина X имеет плотность распределения вероятностей Найти ее производящую функцию семиинвариантов, математическое ожидание и дисперсию. 12. 7. Найти характеристическую функцию, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, плотность распределения вероятностей которой (закон арксинуса) имеет вид . 12. 8. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по закону Коши . 12. 9. Случайная величина X задана характеристической функцией . Найти все центральные моменты этой величины. 12. 10. Случайная величина X задана характеристической функцией . Определить плотность распределения вероятностей величины X. 12. 11. Является ли характеристической функцией распределения вероятностей функция . 12. 12. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, характеристическая функция которой имеет вид . 12. 13. Найти производящую функцию семиинвариантов, математическое ожидание и дисперсию, асимметрию и эксцесс случайной величины X, заданной характеристической функцией .
12. 14. Независимые случайные величины X и Y заданы характеристическими функциями: ; . Найти распределение величины Z=X+Y. 12. 15. Для случайной величины, заданной плотностью распределения вероятностей , найти производящую функцию семиинвариантов. 12. 16. Найти производящую функцию семиинвариантов, математическое ожидание и дисперсию случайной величины X, заданной распределением Максвелла . 12. 17. Найти правостороннее преобразование Лапласа и начальные моменты случайной величины X, заданной функцией распределения вероятностей . 12. 18. Найти плотность распределения вероятностей и правостороннее преобразование Лапласа случайной величины X, заданной характеристической функцией . 12. 19. Независимые случайные величины X, Y и Z заданы производящими функциями семиинвариантов ; c – целое положительное число. Найти константу c и характеристическую функцию величины Q=X+Y+Z. 12. 20. Найти коэффициенты асимметрии и эксцесса случайной величины X, заданной характеристической функцией , n – целое положительное число. 12. 21. Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезке [a, b]. Найти характеристическую функцию величины Z=X+Y. 13. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Основные понятия и теоремы раздела Последовательность случайных величин называется сходящейся по вероятности к случайной величине , если для любого e > 0 имеет место равенство . Кратко такой вид сходимости записывается следующим образом: . Последовательность случайных величин называется сходящейся с вероятностью единица (почти наверное (п. н. ), или почти всюду (п. в. )) к случайной величине , если . Краткие обозначения: , , . Последовательность случайных величин называется сходящейся в среднем порядка r к случайной величине , если . Кратко такая сходимость записывается следующем виде: . В том частном случае, когда r = 2, эту сходимость называют сходимостью в средне квадратическом и обозначают так: .
Последовательность случайных величин называется сходящейся к случайной величине по распределению, если в каждой точке непрерывности функций распределения , . Сокращенно этот вид сходимости отображается следующим образом: . Связь между различными видами сходимости можно изобразить следующим образом: Здесь . Обратить двойные стрелки, вообще говоря, нельзя. Неравенства Чебышева: 1) ; 2) для неотрицательной целочисленной случайной величины с конечным математическим ожиданием неравенство (иногда называется неравенством Маркова) имеет вид: . Теорема Чебышева ( – последовательность независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной): .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|