 |
Метод замены переменной (способ подстановки).
|
|
|
|
Найти заданный неопределённый интеграл непосредственным интегрированием удаётся далеко не всегда, а иногда это сопряжено с большими трудностями. В таких случаях применяют другие способы интегрирования.
Одним из наиболее эффективных методов является способ подстановки или замены переменной интегрирования.
Сущность этого метода заключается в том, что путём введения новой переменной интегрирования удаётся свести заданный интеграл к новому интегралу, который сравнительно лёгко берётся непосредственно.
Алгоритм метода:
Пусть дан интеграл 
, который не является табличным.
1. Записываем уравнение замены
,
где 
- некоторая функция.
2. Находим дифференциал этой функции
.
3. Выражаем
.
4. Подставим 
и 
в данный интеграл:
.
Если замена выполнена правильно, то
будет табличным.
5. Находим
.
6. Чтобы получить окончательный ответ, вместо переменной 
подставляем выражение 
:
.
Пример 1. Найти 
.
Решение. Сделаем подстановку 
, тогда 
. Следовательно,
.
Пример 2. Найти 
.
Решение. Сделаем подстановку 
, тогда 
, следовательно,
.
Пример 3. Найти 
Решение. Сделаем подстановку 
, тогда 
, следовательно,
.
Пример 4. Найти 
.
Решение. Сделаем подстановку 
, тогда 
, получаем
.
Пример 5. Найти 
.
Решение. Подстановка 
, тогда 
, получим
.
Пример 6. Найти 
.
Решение. Сделаем подстановку 
, тогда 
, следовательно,
.
Пример 7. Найти 
.
Решение. Сделаем подстановку 
, тогда 
, следовательно,
.
Пример 8. Найти 
.
Решение. Сделаем подстановку 
, тогда 
, получим
Пример 9. Найти 
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию 
= 
. Сделаем замену 
, тогда 
, получим
= 
.
Пример 10. Найти 
.
Решение. Замена 
, тогда 
, получаем
.
|
|
|
Пример 11. Найти 
.
Решение. Сделаем замену 
, тогда 
получаем
.
Часто при нахождении неопределённых интегралов используются следующая теорема:
,
на основании которой может быть составлена следующая таблица интегралов от сложных функций, промежуточным аргументом которых является линейная функция:
Пользуясь данной таблицей можно в некоторых случаях, не применяя метод замены переменной, сразу получать конечный результат.
Упражнения.
Найти неопределённые интегралы методом замены переменной
№1 
№2 
№3 
№4 
№5 
№6 
№7 
№8 
№9 
№10 
№11. 
№12. 
№13. 
№14. 
№15. 
№16. 
№17. 
№18. 
№19. 
№20 
№21. 
№22. 
№ 23. 
№24. 
№25 
№26 
№27. 
№28. 
№29. 
№30 
№31. 
№32 
№33. 
№34. 
Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям – это, практически, формула интегрирования произведения двух функций.
Хорошо известна формула дифференциала произведения двух функций:
Проинтегрировав обе части данного равенства, получим:
,
т.к.
,
то
,
откуда
.
Последняя формула называется формулой интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям сводит нахождение интеграла 
к отысканию другого интеграла 
; её применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо подобен ему.
При этом в качестве 
берётся функция, которую проще продифференцировать, а в качестве 
берётся та часть подынтегрального выражения, которую проще проинтегрировать. Иногда формулу интегрирования по частям приходиться использовать несколько раз.
При применении формулы интегрирования по частям интегралы можно разбить на 3 основные группы:
1. В интегралах вида
,
где 
- многочлен переменной 
, 
- число, полагают
2. В интегралах вида
полагают
3. В интегралах вида
за 
принимают любую функцию, за 
соответственно оставшуюся часть подынтегрального выражения.
|
|
|
Пример 1. Найти 
.
Решение. Данный интеграл относится к первой группе, поэтому
.
Пример 2. Найти 
.
Решение. Данный интеграл относится ко второй группе, поэтому положим 
Тогда по формуле интегрирования по частям находим:
.
Пример 3. Найти 
.
Данный интеграл относится к первой группе, поэтому 
, по формуле интегрирования по частям имеем
.
Пример 4. Найти 
.
Решение. Интеграл относится к первой группе, поэтому 
, 
, тогда имеем
.
К последнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям, положив 
, тогда получим
.
Исходный интеграл равен
.
Пример5. Найти 
.
Решение. Данный интеграл относится ко второй группе, поэтому 
. По формуле интегрирования по частям получим
= 
.
Пример 6. Найти 
.
Решение. Данный интеграл относится к третьей группе, поэтому выбор 
и 
в данном случае произволен. Пусть 
, 
, тогда по формуле интегрирования по частям получим
.
Для второго интеграла применим ещё раз формулу интегрирования по частям:
,
тогда
.
Подставляя полученное выражение в соотношение для исходного интеграла, получим
.
Перенесём интеграл из правой части в левую, получим
Упражнения
Найти неопределённый интеграл методом интегрирования по частям:
№1. 
№2. 
№3. 
№4. 
№5. 
№6. 
№7. 
№8 
№9. 
№10. 
|
|
|
