Фундаментальные уравнения теории упругости
Среди пространственных задач теории упругости наибольшее значение имеют задачи Буссинеска (Boussinesq, 1885), Р. Миндлина (Mindlin, 1950) и К. Кельвина (Kelvin). Область, занятая упругой сре-дой,–полупространство0£ z.
Задача Буссинеска [8, 32]. Граница области – горизонтальная плоскость z = 0 – везде свободна от напряжений, кроме начала коор-динат, в котором приложена сосредоточенная вертикальная сила R (рис. 1).
Решение задачи даётся формулами:
3
P
x 2
z (1- 2
v) 1 (
R +
z)
x 2
z
х 2p
R 5 3
R (
R +
z) (
R +
z 2
R 3
R 3
3
P
y 2
z (1- 2
v) 1 2
R +
z)
y 2
z
y 2p
R 5 3
R (
R +
z) (
R +
z 2
R 3
R 3
3
P z 3
P 3 1
P z 2p
R 5
z 2 2p 1+
r 2 5/2
z 2
s
z = 1
nKiP, t
xz = 3
Pxz 2;
i =1
t
yz = 3
Pyz 2,
K = 3 1;
2
1
z 2
t = 3
P
xyz - (1-2
v)2
R +
zxy ,
R R zR
где R = x 2+ y 2+ z 2.
M(0; 0; 0)
M(x; y; z)
Рис. 1. Схема к задаче Буссинеска
Перемещения, параллельные осям координат:
u =
P
xz - 1- 2n)
x ;
4p G R 3 R (R + z)
v=4p
G
yz -(1-2n)
R (
R +
z);
w = 4p
G
z 2+21- n)
R .
На основе решения задачи Буссинеска путём интегрирования мо-гут быть получены решения задач для полупространства при действии произвольной вертикальной нагрузки, распределённой по некоторой площади на поверхности полупространства. Некоторые решения этой задачи приводятся в [8].
Аналогом задачи Буссинеска является задача о сосредоточенной касательной силе, приложенной к поверхности полупространства. Не-которые формулы этой задачи приводятся в [8]. Посредством суперпо-зиции решений данной задачи и задачи Буссинеска можно получить решение для произвольной наклонной нагрузки на поверхность полу-пространства.
Возможность применения рассмотренных выше решений для опре-деления напряжений в грунтовых основаниях основывается на прибли-жённой аппроксимации связи между напряжениями и деформациями линейными соотношениями закона Гука, что справедливо для некоторо-го диапазона допредельных напряжённых состояний. Отсюда следует,
что данные решения тем лучше будут соответствовать реальному рас-пределению напряжений в грунте, чем меньшее развитие получили в основании области предельного равновесия и тем более течения.
Так как законы деформирования грунта для нагрузки и разгрузки неодинаковы, то следует избегать применения решений теории упру-гости без учёта последовательности изменения силовых факторов, т.е. без учёта истории нагружения основания.
Наконец, следует отказаться от формального использования ре-шений теории упругости в случаях, когда решением предсказываются значительные растягивающие напряжения в грунте, поскольку в дей-ствительности грунт практически не способен сопротивляться растя-жению.
Задача Р. Миндлина [8, 32]. Сила Р приложена внутри упругого полупространства на расстоянии с от поверхности основания (рис. 2).
Решение задачи даётся следующими формулами. Перемещение в радиальном направлении:
P ´
r
z -
c (3- 4u)(
z -
c) 4(1- u)(1- 2u) 6
cz (
z +
c)16p
G (1- u)
R 3
R 23
R 2(
R 2+
z +
c)
R 25
где G = E (1+ u) –модульсдвига;2
R = (
z -
c)2+
r 2;
R = (
z +
c)2+
r 2.
ПлоскостьZ=0 (0;0;-c)
X
(0;0;+c)
2 R1
r
Y (x;y;z)
Z
Рис. 2. Схема к задаче Р. Миндлина для вертикальной силы, приложенной внутри упругого полупространства
Перемещение в вертикальном направлении:
P 3- 4u 8(1- u)2-(3- 4u) (
z -
c)216p
G (1- u)
R R 2
R 3
+(3- 4u)(
z +
c)2- 2
cz +6
cz (
z +
c)2;
R R
s
x =8(
P u)(1-2)(
z -
c) -3
x 2(
z -
c) +(1-2)[3(
z -
c)-4 (
z +
c)]-
-3(3-4)
x 2(
z -
c)-6
c (
z +
c)[(1-2)
z -2
c ]-30
cx z (
z +
c) -
R R
4(1 u)(1-2)
x 2
x 2
R (
R +
z +
c
R (
R +
z +
c R 22
s=
P (1- 2u)(
z -
c) -3
y 2(
z -
c) +(1- 2u)[3(
z -
c)- 4u(
z +
c)]-8p(1- u)
R R R
-3(3- 4u)
y 2(
z -
c)-6
c (
z +
c)[(1- 2u)
z - 2u
c ] -30
cy 2
z (
z +
c) -
R R
-4(1- u)(1- 2u) 1-
y 2 -
y 2;
R (
R +
z +
c)
R (
R +
z +
c)
R 2
s=
P -(1- 2u)(
z -
c) -(1- 2u)(
z -
c) -3(
z -
c)3-
8p(1- u)
R 3
R 23
R 5
-3(3- 4u)
z (
z +
c)2- 3 (5
z -
c) -30
cz (
z +
c)3;
R 25 R 27
t =
Py -(1- 2u) +(1- 2u) -3(
z -
c)2-
8p(1- u)
R 3
R 23
R 5
-3(3- 4u)
z (
z +
c) - 3 (3
z +
c) -30
cz (
z +
c)2;
R 25 R 27
t =
Px - (1-2u)+ (1-2u)- 3(
z -
c)2-
8p(1- u)
R 3
R 23
R 5
-3(3- 4u)
z (
z +
c) - 3
c (3
z +
c) -30
cz (
z +
c)2.
R 25 R 27
Решение задачи даётся формулами:
u = P 3- 4u + 1 + x 2 + (3- 4u) x 2 + 2 cz 1-3 x 2 +
16p
G (1- u)
R R R R R
R
+ 4(1- u)(1- 2)-
x 2 ;
R +
z +
c
R (
R +
z +
c)
Pxy 1 (3-4u) 6
z 4(1- u)(1-2u)
16p G (1- u) R 3 R 3 R 5 R (R + z + c)2
(33)
(34)
Px
z -
c (3-4u)(
z -
c cz z +
c) 4(1- u)(1- u)1 p
G 1- u)
R 3 23 25
R (
R +
z +
c)
ПлоскостьZ=0 (0;0;-c)
X
(0;0;+c)
P
2 R1
r
Y (x;y;z)
Z
Рис. 3. Схема к задаче Р. Миндлина для горизонтальной силы, приложенной внутри упругого полупространства
Px 1-2 (1-2)(5-4) 3
x 2 3(3-4)
x 2
x 8p(1- u) 1 23 1 25
-4(1u)(1-2)3-
x 2(
R 2+
z +
c
c 3-(3-2)(
z +)+5
x 2;
R (
R zc
R (
R 2
zc)
R
R
s
y =
Py 1-2u + (1-2)(5-4) -3 5 -3(3-4)
y 2 -1 2 1 2
- 4(1-u)(1-2) -
y 2(
R 2 +
z +
c) + 6
c -(1- u)(
z +
c)+ 5
y 2
z ;
R (
R +
z +
c)2
R (
R 2+
z +
c) 2
R
Pz 1- 2u 1- 2u 3(
z -
c 2) 3(3- 4u)(
z +
c)2
z 3 3 5 5
1 2 1 2
+ 6
c
c + (1- 2u)(
z +
c) + 5
z (
z 2
c)2; 2 2
t=
Pxy 3(
z -
c) -3(3- 4u)(
z +
c) +
c 1-2u+5
z (
z +
c) ;p(1-u)
R R R
R
t=
P -(1-2)(
z -
c) +(1- 2)(
z -
c) -3
x 2(
z -
c) -8 (1- u)
R R R
- 3(3-u)
x 2(
z +
c)- -
c
z (
z +
c -(1- u)
x 2- 5
x 2
z (
z +
c);
R R
R
t
y =8p
Py u)-1-2u +1-2u -3
x 2-3(3-4u)
x 2-
4(- u)(1-2u)
x 2
x 2(
R +
z +
c)
cz 5
x 2
R (
R +
z +
c)2
R 2(
R +
z +
c)2
R 5
R 5
Задача Л. Кельвина [32]. Сила приложена на значительной глу-бине (z Ò), когда её влияние на деформацию граничной плоскости (z = 0) незначительно.
Решение задачи даётся следующими формулами. Перемещения в направлении оси х:
u =
P (l + m)
xz.
8pm(l +2m) r 3
Перемещения в направлении оси y:
u =
P (l + m)
yz.
8pm(l +2m) r 3
Вертикальные перемещения:
P (+ m)
z 2 l +3 18pm(l +2m)
r 3 l + m
r
В горизонтальной плоскости приложения нагрузки осадки опре-деляются формулой:
|
|
|
