 |
Резонанс в последовательном контуре
|
|
|
|
Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или подать на контур переменное напряжение 
(рис.1.5.5).
Цепь, в которой последовательно с ЭДС включены сопротивление R, индуктивность L и конденсатор С, называется последовательным колебательным контуром. Рассмотрим процессы в этом контуре.
По второму правилу Кирхгофа 
или 
. Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний
(1.5.2)
Частное решение этого уравнения
(1.5.3)
где 
Подставим 
и 
:
Общее решение получится, если к частному решению (1.5.3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено в предыдущем параграфе. Оно содержит множитель 
, который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени 
им можно пренебречь. Таким образом, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (1.5.3).
Силу тока в контуре при установившихся колебаниях найдем, продифференцировав (1.5.3) по времени:
где 
- сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда
Из этого выражения следует, что ток отстает по фазе от напряжения (
)при 
. И опережает напряжение (
) при 
. Для силы тока можно записать
. (1.5.4)
Представим соотношение (1.5.2) в виде: 
. Произведение 
- падение напряжения на активном сопротивлении; 
- падение напряжения на конденсаторе; 
– напряжение на индуктивности; тогда можно записать
. (1.5.5)
Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.
|
|
|
Согласно (1.5.4) 
- напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в контуре.
Для напряжения на конденсаторе, подставив (1.5.3), имеем 
– напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π /2.
Напряжение на индуктивности 
, где 
,– напряжение на индуктивности опережает ток на π /2.
Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы. Действительно, гармонические колебания можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (рис. 1.5.6).
совпадает по фазе с током, 
– отстаёт на π /2), 
– опережает на π /2. Векторы 
, 
, 
в сумме дают 
, причём U определяется выражением (1.5.5).
При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс. Резонансная частота для напряжения на конденсаторе и для заряда q равна:
Резонансные кривые для имеют вид, представленный на рис.1.5.7.
Все резонансные частоты 
. При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке 
– это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения 
. Максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β=R /2 L, то есть чем меньше R и больше L. Ход резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.
Резонансные кривые для тока приведены на рис.1.5.8.
Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда 
, то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:
При ω →0 сила тока уменьшается до нуля, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.
При малом затухании (
) резонансную частоту для напряжения можно считать равной 
. Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:
|
|
|
- то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.
Итак, при резонансе 
причём 
поэтому 
- амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивности равны между собой, но противоположны по фазе. Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя цепь только с активным сопротивлением. Вся энергия, приложенная к контуру, идёт на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного и емкостного .
|
|
|
